Ecuații iraționale, exponențiale și logaritmice

Itemul I.3: ecuații cu radicali de ordinul 2 sau 3, ecuații exponențiale și logaritmice, condițiile de existență și verificarea soluțiilor, cu opt itemi oficiali rezolvați ca în barem.

26 min
La BAC: I.3
Verificat pe bareme

Ilustrație generată pentru ZECE (artistică, nu o planșă științifică: pentru detalii exacte vezi schemele din lecție).

ții minte doar fișa asta și ești acoperit

Fișa de aur

01
Radical de ordin 2: ridici la pătrat, rezolvi, apoi verifici fiecare soluție în ecuația inițială și scrii „convine” / „nu convine”.
02
Radical de ordin 3: ridici la cub; este echivalență, deci nu apar soluții străine.
03
Exponențiale: aduci la aceeași bază și egalezi exponenții, sau notezi t = aˣ > 0.
Truc: 5ˣ⁺² = 25 · 5ˣ: un exponent „+2” devine un factor 25.
04
Logaritmice: scrii condițiile de existență, strângi într-un singur logaritm, treci la forma exponențială logₐ f = b ⇔ f = aᵇ.
05
Soluțiile care încalcă domeniul se elimină cu propoziție scrisă: în barem e un punct întreg pentru „x = −10, care nu convine; x = 10, care convine”.

1 din 8

Pe scurt

1 minesențialul, de recitit oricând

Culorile din lecție:termenidee-cheieexemplu

I.3 este, aproape mereu, o ecuație: cu radical, exponențială sau logaritmică.
Ordin 2: condiții sau verificare la final; ridicarea la pătrat poate introduce soluții străine.
Ordin 3: $3 A = B ⟺ A = B^{3}$ , fără verificare obligatorie.
Exponențiale: aceeași bază ⇒ exponenți egali; altfel substituția $t = a^{x} > 0$ .
Logaritmice: condiții de existență, un singur logaritm, forma exponențială.
Fiecare soluție se încheie cu „care convine” sau „care nu convine”.

Ecuații cu radicali

4 min

Condițiile
Scrii (sau doar reții pentru verificare) $E (x) \geq 0$ sub fiecare radical de ordin par și, la $E = F$ , $F \geq 0$ .
Eliminarea radicalului
Ridici la pătrat (sau la cub) ambii membri; dacă sunt doi radicali, izolezi întâi unul.
Rezolvarea
Rezolvi ecuația algebrică obținută (de obicei de gradul I sau II).
Verificarea
Înlocuiești fiecare soluție în ecuația inițială; scrii explicit care convine.

Exemplu: $x + 3 = x - 3$ . Prin ridicare la pătrat, $x + 3 = x^{2} - 6 x + 9 ⟺ x^{2} - 7 x + 6 = 0$ , cu $x = 1$ sau $x = 6$ . Pentru $x = 1$ , membrul drept este $- 2 < 0$ : nu convine. Pentru $x = 6$ , $9 = 3 = 6 - 3$ : convine. Soluția: $x = 6$ .

La ordinul 3: $3 x^{3} - 7 = x - 1 ⟺ x^{3} - 7 = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 ⟺ 3 x^{2} - 3 x - 6 = 0 ⟺ x = - 1$ sau $x = 2$ . Ambele sunt soluții ( $3 - 8 = - 2$ , $31 = 1$ ).

Soluția falsă apărută la ridicarea la pătrat

Ridicarea la pătrat dă x = 1 și x = 6. La x = 1 cele două valori sunt 2 și −2, cu același pătrat, dar diferite: de aceea verifici la final și păstrezi doar x = 6.

Ecuații exponențiale

1 min

Aceeași bază: $a^{f (x)} = a^{g (x)} ⟺ f (x) = g (x)$ (injectivitatea exponențialei).
Factor comun: $a^{x + k} = a^{k} \cdot a^{x}$ ; de exemplu $5^{x + 2} - 5^{x} = 5^{x} (25 - 1)$ .
Substituția $t = a^{x}$ , $t > 0$ : $a^{2 x} = t^{2}$ , $a^{- x} = \frac{1}{t}$ .
Baze diferite, fără legătură: logaritmezi, $a^{x} = b ⟺ x = lo g_{a} b$ .

Ecuații logaritmice

3 min

Condițiile de existență
Argumentele strict pozitive (și baza pozitivă, diferită de 1, dacă depinde de x).
Un singur logaritm
Cu regulile produsului, câtului și puterii, aduci la $lo g_{a} f (x) = b$ sau $lo g_{a} f (x) = lo g_{a} g (x)$ .
Forma exponențială
$lo g_{a} f (x) = b ⟺ f (x) = a^{b}$ ; $lo g_{a} f (x) = lo g_{a} g (x) ⟺ f (x) = g (x)$ .
Selecția soluțiilor
Păstrezi doar soluțiile care verifică condițiile de existență.

Itemi oficiali rezolvați

7 min 3 întrebări la final

Oficial: BAC 2021, model, I.3

Enunț: Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $x^{2} - 5 = 3 x - 1$ .

$x^{2} - 5 = 3 x - 1 \Rightarrow x^{2} - 3 x - 4 = 0$

$x = - 1$ , care nu convine, $x = 4$ , care convine

Oficial: BAC 2026, sesiunea iunie-iulie, varianta 3, I.3

Enunț: Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $x^{2} + 7 = 2 x + 1$ .

$x^{2} + 7 = 4 (x + 1)$ , de unde obținem $x^{2} - 4 x + 3 = 0$

$x = 1$ sau $x = 3$ , care convin

Oficial: BAC 2020, model, I.3

Enunț: Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $lo g_{2} (x - 6) = 6 - lo g_{2} (x + 6)$ .

$lo g_{2} ((x - 6) (x + 6)) = 6 \Rightarrow x^{2} - 36 = 64 \Rightarrow x^{2} - 100 = 0$

$x = - 10$ , care nu convine; $x = 10$ , care convine

Oficial: BAC 2021, sesiunea august, varianta 4, I.3

Enunț: Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $lo g_{3} (x + 3) + lo g_{3} (x - 3) = 2$ .

$lo g_{3} ((x + 3) (x - 3)) = 2$ , deci $(x)^{2} - 9 = 3^{2}$

$x - 9 = 9$ , deci $x = 18$ , care convine

Oficial: BAC 2020, sesiunea specială, varianta 1, I.3

Enunț: Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $9^{x^{2}} = 3 \cdot 3^{x}$ .

$3^{2 x^{2}} = 3^{x + 1} ⟺ 2 x^{2} = x + 1$

$2 x^{2} - x - 1 = 0$ , de unde obținem $x = - \frac{1}{2}$ sau $x = 1$

Oficial: BAC 2022, model, I.3

Enunț: Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $5^{x + 2} = 5^{x} + 24$ .

$25 \cdot 5^{x} - 5^{x} = 24$ , deci $5^{x} = 1$

$x = 0$

Oficial: BAC 2026, sesiunea august, varianta 4, I.3

Enunț: Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $lo g_{8} x + lo g_{8} (8 - x) = lo g_{8} (6 + x)$ .

$lo g_{8} (8 x - x^{2}) = lo g_{8} (6 + x)$ , de unde obținem $x^{2} - 7 x + 6 = 0$

$x = 1$ sau $x = 6$ , care convin (ambele sunt în intervalul $(0, 8)$ , unde au sens toți logaritmii)

Oficial: BAC 2025, sesiunea iunie, varianta 1, I.3

Enunț: Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2 x^{2} - 3 x + 2 = x$ .

$2 x^{2} - 3 x + 2 = x^{2}$ , de unde obținem $x^{2} - 3 x + 2 = 0$

$x = 1$ sau $x = 2$ , care convin

Rezolvați √(x² − 5) = √(3x − 1).

Rezolvați 5ˣ⁺² = 5ˣ + 24.

Rezolvați log₂(x − 6) = 6 − log₂(x + 6).

Alte exemple

1 min

Substituție și logaritm

$4^{x} - 3 \cdot 2^{x} + 2 = 0$ : cu $t = 2^{x} > 0$ , $t^{2} - 3 t + 2 = 0$ , deci $t = 1$ sau $t = 2$ ; $x = 0$ sau $x = 1$ .

$lo g_{3} (x - 1) + lo g_{3} (x + 1) = 1$ , cu $x > 1$ : $(x - 1) (x + 1) = 3 \Rightarrow x^{2} = 4$ ; $x = - 2$ nu convine, $x = 2$ convine.

Ce se cere la BAC

8 mincum apare la examen

Toți itemii I.3 din variantele M_mate-info consultate (2020–2022 și 2024–2026) sunt ecuații:

model 2020

Tip

logaritmică

Soluția din barem

x = 10

specială 2020, var. 1

Tip

exponențială

Soluția din barem

x = - \frac{1}{2}

x = 1

iunie 2020, var. 6

Tip

exponențială, substituție

Soluția din barem

x = 0

august 2020, var. 3

Tip

radical de ordin 3

Soluția din barem

x = 0

model 2021

Tip

doi radicali de ordin 2

Soluția din barem

x = 4

august 2021, var. 4

Tip

logaritmică cu radical

Soluția din barem

x = 18

model 2022

Tip

exponențială, factor comun

Soluția din barem

x = 0

iunie-iulie 2024, var. 10

Tip

exponențială, aceeași bază

Soluția din barem

x = - 1

august 2024, var. 3

Tip

doi radicali de ordin 3

Soluția din barem

x = - 3

x = 0

specială 2025, var. 3

Tip

exponențială, aceeași bază

Soluția din barem

x = - 1

iunie 2025, var. 1

Tip

radical de ordin 2

Soluția din barem

x = 1

x = 2

august 2025, var. 9

Tip

logaritmică

Soluția din barem

x = 1

x = 4

simulare 2026

Tip

logaritmică, baza

x

Soluția din barem

x = 16

specială 2026, var. 2

Tip

logaritmică

Soluția din barem

x = 1

x = 3

iunie-iulie 2026, var. 3

Tip

doi radicali de ordin 2

Soluția din barem

x = 1

x = 3

rezervă iunie-iulie 2026, var. 7

Tip

logaritmică

Soluția din barem

x = 2

x = 4

august 2026, var. 4

Tip

logaritmică

Soluția din barem

x = 1

x = 6

1 / 17

Variantă	Tip	Soluția din barem
model 2020	logaritmică	$x = 10$
specială 2020, var. 1	exponențială	$x = - \frac{1}{2}$ , $x = 1$
iunie 2020, var. 6	exponențială, substituție	$x = 0$
august 2020, var. 3	radical de ordin 3	$x = 0$
model 2021	doi radicali de ordin 2	$x = 4$
august 2021, var. 4	logaritmică cu radical	$x = 18$
model 2022	exponențială, factor comun	$x = 0$
iunie-iulie 2024, var. 10	exponențială, aceeași bază	$x = - 1$
august 2024, var. 3	doi radicali de ordin 3	$x = - 3$ , $x = 0$
specială 2025, var. 3	exponențială, aceeași bază	$x = - 1$
iunie 2025, var. 1	radical de ordin 2	$x = 1$ , $x = 2$
august 2025, var. 9	logaritmică	$x = 1$ , $x = 4$
simulare 2026	logaritmică, baza $x$	$x = 16$
specială 2026, var. 2	logaritmică	$x = 1$ , $x = 3$
iunie-iulie 2026, var. 3	doi radicali de ordin 2	$x = 1$ , $x = 3$
rezervă iunie-iulie 2026, var. 7	logaritmică	$x = 2$ , $x = 4$
august 2026, var. 4	logaritmică	$x = 1$ , $x = 6$

Greșeli care costă puncte

1 mincapcanele de evitat

Lipsa verificării la radicali de ordin 2 sau lipsa propoziției „care convine”.
Condițiile de existență ale logaritmului ignorate: păstrarea lui $x = - 10$ la model 2020.
$2 x + 1$ ridicat la pătrat ca $2 (x + 1)$ : corect este $4 (x + 1)$ .
$lo g (a + b)$ despărțit în $lo g a + lo g b$ .
Exponentul tratat ca factor: $5^{x + 2} \neq = 5^{x} + 2$ și $\neq = 5^{x} \cdot 2$ ; este $25 \cdot 5^{x}$ .

Termeni-cheie

Condiția de existență (radical de ordin par): √E(x) are sens în ℝ doar pentru E(x) ≥ 0; în plus, √E = F cere F ≥ 0.
Radical de ordin 3: ∛E(x) are sens pentru orice E(x) real; ∛E = F ⇔ E = F³ (echivalență).
Soluție care convine: Valoare obținută prin calcul care verifică ecuația inițială și condițiile de existență; cele care nu le verifică se elimină explicit.
Ecuație exponențială de bază: a^(f(x)) = a^(g(x)), a > 0, a ≠ 1 ⇔ f(x) = g(x).
Substituția exponențială: Notarea t = aˣ, cu t > 0, transformă ecuațiile cu a²ˣ, aˣ⁺ᵏ, a⁻ˣ în ecuații algebrice în t.
Ecuație logaritmică de bază: logₐ f(x) = b ⇔ f(x) = aᵇ, cu f(x) > 0; logₐ f(x) = logₐ g(x) ⇔ f(x) = g(x) > 0.
Condițiile de existență ale logaritmului: Pentru logₐ f(x): f(x) > 0, iar baza a > 0, a ≠ 1 (și când baza depinde de x).
Logaritmare: Aplicarea logaritmului ambilor membri ai unei egalități de numere pozitive: aˣ = b ⇔ x = logₐ b.

Notițele mele

Salvat local

Pe scurt

Ecuații cu radicali

Ecuații exponențiale

Ecuații logaritmice

Itemi oficiali rezolvați

Alte exemple

Ce se cere la BAC

Greșeli care costă puncte

Termeni-cheie

Notițele mele

Surse