Legi de compoziție, tabla operației, parte stabilă

Ce este o lege de compoziție internă, cum citești și construiești tabla operației, cum demonstrezi că o submulțime este parte stabilă și trucul formei factorizate.

22 min
La BAC: Subiectul al II-lea (2)
Verificat pe bareme

Ilustrație generată pentru ZECE (artistică, nu o planșă științifică: pentru detalii exacte vezi schemele din lecție).

ții minte doar fișa asta și ești acoperit

Fișa de aur

01
Lege de compoziție internă pe M: oricărei perechi (x, y) din M îi corespunde un singur x ∗ y, tot din M.
02
Parte stabilă: H ⊆ M cu x ∗ y ∈ H pentru orice x, y ∈ H. Demonstrezi pentru x, y oarecare, nu pe exemple.
Truc: Stabil = „nu ieși din cameră”: combini doi din cameră, rezultatul rămâne în cameră.
03
Pentru legi de forma xy − a(x + y) + b scrie mereu (x − a)(y − a) + b − a²: aproape toate punctele c) pornesc de aici.
04
Pentru intervale: din x, y ∈ H obții semnul factorilor (x − a), (y − a), apoi compari cu capătul intervalului.
05
Ca să arăți că H nu e stabilă, dai un contraexemplu concret: două elemente din H al căror compus iese din H.

1 din 6

Pe scurt

2 minesențialul, de recitit oricând

Culorile din lecție:termencifră, datăidee-cheie

Lege de compoziție internă pe o mulțime nevidă $M$ : o funcție $M \times M \to M$ , $(x, y) \mapsto x * y$ . Rezultatul trebuie să fie în $M$ .
Tabla operației (pentru $M$ finită): la intersecția liniei $x$ cu coloana $y$ se scrie $x * y$ .
Parte stabilă: $H \subseteq M$ , nevidă, cu $x * y \in H$ pentru orice $x, y \in H$ . Pe $H$ se obține legea indusă.
Forma factorizată: $x y - a (x + y) + b = (x - a) (y - a) + b - a^{2}$ .
Pentru a arăta că $H$ nu este parte stabilă ajunge un contraexemplu.

Legea de compoziție internă

3 min

Fie $M$ o mulțime nevidă. O lege de compoziție internă (operație algebrică) pe $M$ este o funcție $φ : M \times M \to M$ . Se notează $φ (x, y) = x * y$ (sau $x \circ y$ , $x ⊥ y$ , $x ⊤ y$ ).

Două lucruri sunt incluse în definiție:

existența și unicitatea: pentru fiecare pereche $(x, y)$ se obține un singur rezultat;
rezultatul rămâne în $M$ : dacă pe $N$ definim $x * y = x - y$ , nu obținem o lege internă, pentru că $1 * 2 = - 1 \in / N$ .

Exemple de legi interne: adunarea și înmulțirea pe $N, Z, Q, R, C$ ; adunarea și înmulțirea matricelor pe $M_{n} (R)$ ; compunerea funcțiilor pe mulțimea funcțiilor $f : A \to A$ ; adunarea și înmulțirea claselor de resturi pe $Z_{n}$ .

Tabla operației

3 min

Pentru o mulțime finită $M = {a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}}$ , legea se poate da printr-un tabel: pe linia lui $a_{i}$ și coloana lui $a_{j}$ se scrie $a_{i} * a_{j}$ . De exemplu, adunarea în $Z_{4}$ :

\hat{0}

\hat{1}

\hat{2}

\hat{3}

\hat{0}

\hat{0}

\hat{1}

\hat{2}

\hat{3}

\hat{1}

\hat{1}

\hat{2}

\hat{3}

\hat{0}

\hat{2}

\hat{2}

\hat{3}

\hat{0}

\hat{1}

\hat{3}

\hat{3}

\hat{0}

\hat{1}

\hat{2}

$+$	$\hat{0}$	$\hat{1}$	$\hat{2}$	$\hat{3}$
$\hat{0}$	$\hat{0}$	$\hat{1}$	$\hat{2}$	$\hat{3}$
$\hat{1}$	$\hat{1}$	$\hat{2}$	$\hat{3}$	$\hat{0}$
$\hat{2}$	$\hat{2}$	$\hat{3}$	$\hat{0}$	$\hat{1}$
$\hat{3}$	$\hat{3}$	$\hat{0}$	$\hat{1}$	$\hat{2}$

Ce citești din tablă:

legea e internă dacă toate căsuțele conțin elemente din $M$ ;
comutativitatea: tabla este simetrică față de diagonala principală;
elementul neutru $e$ : linia și coloana lui $e$ repetă capul de tabel;
simetricul lui $x$ : elementul $x^{'}$ pentru care pe linia lui $x$ apare $e$ în coloana lui $x^{'}$ (și invers).

Elementul neutru se vede în tablă

În tablă, clasele apar fără căciuliță. Linia și coloana lui 0 repetă capul de tabel, iar simetria față de diagonala principală arată comutativitatea.

Parte stabilă

11 min 3 întrebări la final

Definiție. Fie $*$ o lege de compoziție pe $M$ . O submulțime nevidă $H \subseteq M$ este parte stabilă a lui $M$ în raport cu $*$ dacă

x * y \in H, pentru orice x, y \in H .

Atunci $H \times H \to H$ , $(x, y) \mapsto x * y$ este o lege pe $H$ , numită legea indusă.

Iei x, y oarecare din H
Scrii condiția de apartenență: pentru un interval, inegalitățile; pentru o mulțime de matrice, forma generală $A (a)$ , $A (b)$ .
Rescrii x ∗ y
Forma factorizată, o proprietate de tipul $A (a) A (b) = A (a + b)$ sau un calcul direct.
Arăți condiția de apartenență pentru x ∗ y
Semnul produsului, comparația cu capătul intervalului, forma matricei.
Concluzia cu formularea din cerință
„deci $H$ este parte stabilă a lui $M$ în raport cu legea de compoziție $*$ ”.

Forma factorizată. Pentru orice numere reale $a, b$ :

x y - a (x + y) + b = (x - a) (y - a) + b - a^{2} .

Verificare: $(x - a) (y - a) = x y - a x - a y + a^{2}$ . Cazul frecvent $b = a^{2} + a$ dă $x * y = (x - a) (y - a) + a$ .

BAC august 2020, varianta 3, II.2.a și c

Legea: $x * y = x y - 4 (x + y) + a$ pe $R$ , $a$ număr real.

a) Pentru $a = 10$ : $1 * 2 = 1 \cdot 2 - 4 (1 + 2) + 10 = 2 - 12 + 10 = 0$ .

c) Fie $a \in [20, + \infty)$ și $H = [4, + \infty)$ . Pentru orice numere reale $x, y$ :

x * y = (x - 4) (y - 4) + a - 16.

Pentru $x, y \in H$ avem $x - 4 \geq 0$ și $y - 4 \geq 0$ , deci $(x - 4) (y - 4) \geq 0$ . Cum $a \geq 20$ , rezultă $a - 16 \geq 4$ , deci $x * y \geq 4$ , adică $x * y \in H$ .

Prin urmare $H$ este parte stabilă a mulțimii numerelor reale în raport cu legea $*$ .

Barem oficial: c) forma factorizată 2p; justificarea $x * y \geq 4$ și concluzia 3p.

Exercițiu de tip BAC: interval deschis

Pe $R$ : $x * y = x y - 2 x - 2 y + 6$ . Arătați că $H = (2, + \infty)$ este parte stabilă.

$x * y = x y - 2 x - 2 y + 4 + 2 = (x - 2) (y - 2) + 2$ , pentru orice $x, y \in R$ .

Fie $x, y \in H$ . Atunci $x - 2 > 0$ și $y - 2 > 0$ , deci $(x - 2) (y - 2) > 0$ și $x * y > 2$ , adică $x * y \in H$ .

Deci $H$ este parte stabilă a lui $R$ în raport cu $*$ .

Exercițiu de tip BAC: mulțime de matrice

Fie $A (a) = (10 a 1)$ , $a \in R$ , și $G = {A (a) ∣ a \in R}$ . Arătați că $G$ este parte stabilă a lui $M_{2} (R)$ în raport cu înmulțirea matricelor.

A (a) A (b) = (10 a 1) (10 b 1) = (10 a + b 1) = A (a + b)

Pentru orice $a, b \in R$ avem $a + b \in R$ , deci $A (a) A (b) \in G$ : $G$ este parte stabilă.

Contraexemplu: H nu este parte stabilă

Pe $R$ cu adunarea, $H = [0, 1]$ : $1 \in H$ , dar $1 + 1 = 2 \in / H$ . Deci $H$ nu este parte stabilă a lui $R$ în raport cu adunarea.

BAC 2025, simulare, II.2.c (parte stabilă fără formă factorizată)

Pe $M = (0, + \infty)$ : $x * y = x y + \frac{1}{x y} + \frac{x + y}{2} - 2$ . Demonstrați că $[1, + \infty)$ este parte stabilă a lui $M$ în raport cu $*$ .

Pentru orice $x, y \in M$ , primii trei termeni se grupează într-un pătrat:

x * y = \frac{( x y - 1 ) ^{2}}{x y} + \frac{x + y}{2} \geq \frac{x + y}{2} .

Pentru $x, y \in [1, + \infty)$ avem $\frac{x + y}{2} \geq 1$ , deci $x * y \geq 1$ , adică $x * y \in [1, + \infty)$ : mulțimea $[1, + \infty)$ este parte stabilă a lui $M$ în raport cu $*$ .

Barem oficial: rescrierea și inegalitatea $x * y \geq \frac{x + y}{2}$ 3p; concluzia pentru $x, y \geq 1$ 2p.

Ce trebuie arătat ca H să fie parte stabilă?

Scrie xy − 4(x + y) + 20 în formă factorizată.

Cum arăți că [0, 1] nu e parte stabilă față de adunare?

Ce se cere la BAC

3 mincum apare la examen

Problema 2 de la Subiectul al II-lea are trei puncte a), b), c), câte 5 puncte fiecare (15 puncte din 30). Partea stabilă apare de obicei la c), după ce b) a cerut o proprietate (element neutru, comutativitate).

BAC august 2020, v3, II.2.c: $H = [4, + \infty)$ parte stabilă pentru $x * y = x y - 4 (x + y) + a$ , $a \geq 20$ . Barem: $x * y = (x - 4) (y - 4) + a - 16$ (2p), apoi $x * y \geq 4$ (3p).
BAC iunie 2020, v6, II.2: legea pe $A = [1, + \infty)$ este dată cu radical de ordinul 3; punctul b) cere o rescriere cu produsul $(x^{3} - 1) (y^{3} - 1)$ sub radical, din care se vede că rezultatul este cel puțin 1 (vezi lecția „Calcule și ecuații cu legi de compoziție”).
BAC 2025, simulare, II.2.c: $[1, + \infty)$ parte stabilă pentru o lege cu radicali; ideea din barem este $x y + \frac{1}{x y} - 2 = \frac{( x y - 1 ) ^{2}}{x y} \geq 0$ , deci $x * y \geq \frac{x + y}{2} \geq 1$ (3p + 2p).
Punctul a) este aproape mereu un calcul direct cu numere date: înlocuiești în formulă și calculezi (3p + 2p în barem).

Greșeli care costă puncte

1 mincapcanele de evitat

Verificarea pe câteva valori în loc de $x, y$ oarecare din $H$ .
Concluzia lipsă: „deci $H$ este parte stabilă” trebuie scris, cu legea numită.
Inegalitate strictă în loc de nestrictă (sau invers) la capătul intervalului.
Desfacerea greșită a formei factorizate: verifică întotdeauna termenul liber $b - a^{2}$ .
Contraexemplu lipsă când se cere să arăți că o mulțime nu este stabilă: nu e suficient „nu pare stabilă”.

Termeni-cheie

Lege de compoziție internă: Pe mulțimea nevidă M: o funcție φ: M × M → M; rezultatul φ(x, y) se notează x ∗ y și trebuie să fie tot în M.
Tabla operației: Pentru M finită: tabel cu elementele lui M pe linie și pe coloană; la intersecția liniei x cu coloana y se scrie x ∗ y.
Parte stabilă: H ⊆ M, H nevidă, este parte stabilă a lui M în raport cu ∗ dacă x ∗ y ∈ H pentru orice x, y ∈ H.
Lege indusă: Pe o parte stabilă H, restricția lui ∗ la H × H este o lege de compoziție pe H, numită legea indusă.
Forma factorizată: x ∗ y = xy − a(x + y) + b se scrie (x − a)(y − a) + b − a²; pentru b = a² + a devine (x − a)(y − a) + a.
Contraexemplu: Ca să arăți că H NU este parte stabilă ajunge o singură pereche x, y ∈ H cu x ∗ y ∉ H.
Operație bine definită: Pentru o lege pe un interval sau o mulțime restrânsă trebuie verificat că rezultatul rămâne în mulțime (altfel nu e lege internă).

Notițele mele

Salvat local

Surse

Programa de examen Matematică M_mate-info, Bacalaureat 2015 (Anexa 2 la OMEN 4430/2014), clasa a XII-a, Grupuri
BAC 2020, sesiunea august, varianta 3, Subiectul al II-lea, 2 (subiect și barem)
BAC 2020, sesiunea iunie, varianta 6, Subiectul al II-lea, 2 (subiect și barem)
BAC 2025, simulare, Subiectul al II-lea, 2.c (subiect și barem)