Funcții putere, radical, exponențială, logaritmică; injectivitate și inversa

Graficele și proprietățile funcțiilor putere, radical, exponențială și logaritmică; injectivitate, surjectivitate, bijectivitate și funcția inversă, cu metodele din barem.

24 min
La BAC: I.2 · I.3
Verificat pe bareme

Ilustrație generată pentru ZECE (artistică, nu o planșă științifică: pentru detalii exacte vezi schemele din lecție).

ții minte doar fișa asta și ești acoperit

Fișa de aur

01
Injectivă: din f(x₁) = f(x₂) rezultă x₁ = x₂. Surjectivă: Im f = codomeniul. Bijectivă = ambele.
02
Inversabilă ⇔ bijectivă. Inversa se află rezolvând y = f(x) în raport cu x.
Truc: Inversa „dă înapoi” x-ul: dacă f(2) = 7, atunci f⁻¹(7) = 2.
03
Strict monotonă ⇒ injectivă. De aceea aˣ, logₐ x, x³, ⁿ√x sunt injective și ecuațiile cu ele se rezolvă egalând argumentele.
04
Exponențiala și logaritmul de aceeași bază sunt inverse una alteia: graficele lor sunt simetrice față de y = x.
05
x² nu e injectivă pe ℝ (f(−1) = f(1)), dar este pe [0, +∞), unde inversa este √x.

1 din 7

Pe scurt

2 minesențialul, de recitit oricând

Culorile din lecție:termenidee-cheie

Funcția putere $x^{n}$ ( $n \geq 2$ ): pară pentru $n$ par (grafic simetric față de $O y$ ), impară pentru $n$ impar.
Funcția radical $n x$ : pe $[0, + \infty)$ pentru $n$ par, pe $R$ pentru $n$ impar; strict crescătoare.
Exponențiala $a^{x}$ și logaritmica $lo g_{a} x$ : crescătoare pentru $a > 1$ , descrescătoare pentru $0 < a < 1$ ; sunt inverse una alteia.
Injectivă: $f (x_{1}) = f (x_{2}) \Rightarrow x_{1} = x_{2}$ ; surjectivă: $Im f = B$ ; bijectivă: ambele.
Inversabilă $⟺$ bijectivă; graficul inversei este simetricul graficului față de $y = x$ .
Folosire la BAC: injectivitatea justifică pasul „egalăm exponenții / argumentele” la ecuațiile de la I.3.

Funcțiile elementare din programă

5 min

x^{n}

n

par

Domeniu → codomeniu

R \to [0, + \infty)

Monotonie

descrescătoare pe

(- \infty, 0]

, crescătoare pe

[0, + \infty)

x^{n}

n

impar

Domeniu → codomeniu

R \to R

Monotonie

strict crescătoare

n x

n

par

Domeniu → codomeniu

[0, + \infty) \to [0, + \infty)

Monotonie

strict crescătoare

n x

n

impar

Domeniu → codomeniu

R \to R

Monotonie

strict crescătoare

a^{x}

Domeniu → codomeniu

R \to (0, + \infty)

Monotonie

crescătoare (

a > 1

), descrescătoare (

0 < a < 1

)

lo g_{a} x

Domeniu → codomeniu

(0, + \infty) \to R

Monotonie

crescătoare (

a > 1

), descrescătoare (

0 < a < 1

)

1 / 6

Funcție	Domeniu → codomeniu	Monotonie	Puncte remarcabile
$x^{n}$ , $n$ par	$R \to [0, + \infty)$	descrescătoare pe $(- \infty, 0]$ , crescătoare pe $[0, + \infty)$	$(0, 0)$ , $(1, 1)$ , $(- 1, 1)$
$x^{n}$ , $n$ impar	$R \to R$	strict crescătoare	$(0, 0)$ , $(1, 1)$ , $(- 1, - 1)$
$n x$ , $n$ par	$[0, + \infty) \to [0, + \infty)$	strict crescătoare	$(0, 0)$ , $(1, 1)$
$n x$ , $n$ impar	$R \to R$	strict crescătoare	$(0, 0)$ , $(1, 1)$ , $(- 1, - 1)$
$a^{x}$	$R \to (0, + \infty)$	crescătoare ( $a > 1$ ), descrescătoare ( $0 < a < 1$ )	$(0, 1)$ , $(1, a)$
$lo g_{a} x$	$(0, + \infty) \to R$	crescătoare ( $a > 1$ ), descrescătoare ( $0 < a < 1$ )	$(1, 0)$ , $(a, 1)$

Graficul exponențialei nu taie $O x$ ( $a^{x} > 0$ ); graficul logaritmului nu taie $O y$ . Convexitate (lectură grafică): $x^{2}$ și $a^{x}$ sunt convexe; $x$ și $lo g_{a} x$ cu $a > 1$ sunt concave.

Injectivitate, surjectivitate, bijectivitate

3 min o întrebare la final

Injectivitate, algebric
Presupui $f (x_{1}) = f (x_{2})$ și deduci $x_{1} = x_{2}$ . Sau arăți că $f$ este strict monotonă.
Neinjectivitate
Dai două valori diferite cu aceeași imagine.
Surjectivitate
Pentru $y$ oarecare din codomeniu rezolvi $f (x) = y$ și arăți că soluția este în domeniu; sau determini $Im f$ și o compari cu codomeniul.
Grafic
Intersectezi graficul cu orizontale $y = b$ : cel mult un punct (injectivă), cel puțin un punct pentru orice $b$ din codomeniu (surjectivă).

Exemplu: $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} + 1$ . Nu este injectivă: $f (- 1) = f (1) = 2$ . Nu este surjectivă: $f (x) \geq 1$ pentru orice $x$ , deci $0$ nu are preimagine. Restricția $f : [0, + \infty) \to [1, + \infty)$ este bijectivă, cu inversa $f^{- 1} (x) = x - 1$ .

Orizontala arată că nu e injectivă

f(−1) = f(1) = 2: aceeași imagine pentru doi x diferiți, deci f nu e injectivă. Sub y = 1 nicio orizontală nu mai atinge graficul, deci f nu e nici surjectivă pe ℝ.

De ce f(x) = x² nu este injectivă pe ℝ?

Funcția inversă

4 min o întrebare la final

Dacă $f : A \to B$ este bijectivă, inversa $f^{- 1} : B \to A$ asociază fiecărui $y \in B$ unica soluție $x \in A$ a ecuației $f (x) = y$ . Au loc $f^{- 1} (f (x)) = x$ pentru orice $x \in A$ și $f (f^{- 1} (y)) = y$ pentru orice $y \in B$ .

$f (x) = a x + b$ , $a \neq = 0$ : $f^{- 1} (x) = \frac{x - b}{a}$ .
$f (x) = a^{x}$ : $f^{- 1} (x) = lo g_{a} x$ ; $f (x) = x^{3}$ : $f^{- 1} (x) = 3 x$ .

Funcția și inversa ei, în oglindă

Inversa schimbă între ele x și y, deci graficul ei e simetricul față de y = x. Punctul (0, 1) de pe exponențială devine (1, 0) pe logaritm.

Inversa lui f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x − 3?

Exemple rezolvate

5 min o întrebare la final

Oficial: BAC 2020, sesiunea august, varianta 3, I.3

Enunț: Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $x = 3 x^{3} + 2 x$ .

$x^{3} = x^{3} + 2 x ⟺ 2 x = 0$

$x = 0$

(Ridicarea la cub este o echivalență, pentru că funcția $x \mapsto x^{3}$ este bijectivă pe $R$ ; nu e nevoie de verificare.)

Oficial: BAC 2020, sesiunea iunie, varianta 6, I.3

Enunț: Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $5^{x} + 5^{- x} = 2$ .

Cu $t = 5^{x} > 0$ : $t + \frac{1}{t} = 2 ⟺ t^{2} - 2 t + 1 = 0 ⟺ (t - 1)^{2} = 0$ , deci $t = 1$

$5^{x} = 1$ , deci $x = 0$ (funcția exponențială este injectivă)

Bijectivitate și inversă

Arătați că $f : R \to (1, + \infty)$ , $f (x) = 2^{x} + 1$ este bijectivă și determinați inversa.

Injectivă: $f (x_{1}) = f (x_{2}) \Rightarrow 2^{x_{1}} = 2^{x_{2}} \Rightarrow x_{1} = x_{2}$ .

Surjectivă: pentru $y > 1$ , $2^{x} + 1 = y ⟺ x = lo g_{2} (y - 1) \in R$ .

Deci $f$ este bijectivă și $f^{- 1} : (1, + \infty) \to R$ , $f^{- 1} (x) = lo g_{2} (x - 1)$ .

Injectivitate prin monotonie

$f : R \to R$ , $f (x) = x^{3} + x$ este strict crescătoare (suma a două funcții strict crescătoare), deci injectivă.

$g : R \to R$ , $g (x) = 2 x - 3$ este bijectivă: $y = 2 x - 3 ⟺ x = \frac{y + 3}{2}$ , deci $g^{- 1} (x) = \frac{x + 3}{2}$ .

Este f(x) = x³ + x injectivă pe ℝ?

Ce se cere la BAC

4 mincum apare la examen

La Subiectul I, injectivitatea și bijectivitatea apar mai ales „în spate”: ecuațiile exponențiale, logaritmice și cu radical de ordin 3 se rezolvă prin injectivitate (august 2020, varianta 3, I.3: $x = 0$ ; iunie 2020, varianta 6, I.3: $x = 0$ ).
Ecuații rezolvate prin injectivitate (2024): iunie-iulie 2024, varianta 10, I.3: $5^{3 x} \cdot 5^{2} = 5^{x}$ ; barem: $5^{3 x + 2} = 5^{x}$ , deci $3 x + 2 = x$ , $x = - 1$ . August 2024, varianta 3, I.3: $3 x^{2} + 2 x + 1 = 3 1 - x$ ; barem: $x^{2} + 2 x + 1 = 1 - x$ , deci $x^{2} + 3 x = 0$ , $x = - 3$ sau $x = 0$ (ridicarea la cub este echivalență, deci ambele sunt soluții).
Cerințe directe de tipul „arătați că funcția este injectivă/bijectivă” apar în Subiectul III (prin monotonie, cu derivata) și la funcții definite pe intervale.
Graficele funcțiilor exponențiale și logaritmice sunt folosite la numărul de soluții ale unei ecuații și la semne.

Greșeli care costă puncte

1 mincapcanele de evitat

Surjectivitatea judecată fără codomeniu: același $f (x) = x^{2} + 1$ e surjectivă pe $[1, + \infty)$ , dar nu pe $R$ .
Injectivitatea „demonstrată” pe exemple: două valori diferite cu imagini diferite nu dovedesc nimic.
Inversa fără domeniu: $f^{- 1}$ este definită pe codomeniul lui $f$ .
Monotonia exponențialei cu bază subunitară greșită.

Termeni-cheie

Funcție injectivă: f(x₁) = f(x₂) ⇒ x₁ = x₂ (echivalent: x₁ ≠ x₂ ⇒ f(x₁) ≠ f(x₂)). Grafic: orice orizontală taie graficul în cel mult un punct.
Funcție surjectivă: Pentru orice y din codomeniu există x în domeniu cu f(x) = y, adică Im f = codomeniul.
Funcție bijectivă: Injectivă și surjectivă: orice y din codomeniu are exact o preimagine.
Funcție inversabilă: f : A → B pentru care există g : B → A cu g ∘ f = 1_A și f ∘ g = 1_B; se notează g = f⁻¹.
Condiția de inversabilitate: O funcție este inversabilă dacă și numai dacă este bijectivă.
Graficul inversei: Graficele lui f și f⁻¹ sunt simetrice față de prima bisectoare, y = x.
Monotonie și injectivitate: O funcție strict monotonă este injectivă (reciproca nu este adevărată în general).
Funcția exponențială: f : ℝ → (0, +∞), f(x) = aˣ, a > 0, a ≠ 1; strict crescătoare pentru a > 1, strict descrescătoare pentru 0 < a < 1; bijectivă.
Funcția logaritmică: f : (0, +∞) → ℝ, f(x) = logₐ x; inversa funcției exponențiale de aceeași bază; bijectivă.
Funcția putere și radical: xⁿ: pară pentru n par, impară pentru n impar; ⁿ√x este definită pe [0, +∞) pentru n par și pe ℝ pentru n impar, strict crescătoare.

Notițele mele

Salvat local

Pe scurt

Funcțiile elementare din programă

Injectivitate, surjectivitate, bijectivitate

Funcția inversă

Exemple rezolvate

Ce se cere la BAC

Greșeli care costă puncte

Termeni-cheie

Notițele mele

Surse