Polinoame: forma algebrică, operații, împărțirea cu rest, schema lui Horner

Polinoame cu coeficienți într-un corp comutativ, gradul, funcția polinomială, teorema împărțirii cu rest, împărțirea la X − a cu schema lui Horner și restul la împărțirea cu un polinom de gradul al doilea.

25 min
La BAC: Subiectul al II-lea (2)
Verificat pe bareme

Ilustrație generată pentru ZECE (artistică, nu o planșă științifică: pentru detalii exacte vezi schemele din lecție).

ții minte doar fișa asta și ești acoperit

Fișa de aur

01
f = g·q + r, cu grad r < grad g: câtul și restul sunt unice.
02
Restul la X − a este f(a). Câtul îl dă schema lui Horner.
Truc: Horner: „coboară, înmulțește cu a, adună” până la capăt; ultima căsuță e restul.
03
Restul la un polinom de gradul 2 are forma mX + n; dacă divizorul are rădăcinile a ≠ b, rezolvi f(a) = ma + n, f(b) = mb + n.
04
f(1) = suma coeficienților, f(0) = termenul liber.
05
În ℤₚ[X], polinoame diferite pot da aceeași funcție: în ℤ₃, X³ și X au aceleași valori.

1 din 7

Pe scurt

2 minesențialul, de recitit oricând

Culorile din lecție:termenidee-cheie

Polinom peste corpul $K$ ( $Q, R, C, Z_{p}$ ): $f = a_{n} X^{n} + \dots + a_{1} X + a_{0}$ ; dacă $a_{n} \neq = 0$ , $grad f = n$ .
Teorema împărțirii cu rest: $f = g q + r$ , $grad r < grad g$ , cu $q, r$ unice.
Teorema restului: restul la $X - a$ este $f (a)$ ; câtul se obține cu schema lui Horner.
Restul la un polinom de gradul 2 este $m X + n$ ; se află din valorile lui $f$ în rădăcinile împărțitorului.
$f (1)$ = suma coeficienților, $f (0)$ = termenul liber.

Forma algebrică și funcția polinomială

3 min o întrebare la final

Un polinom cu coeficienți în corpul comutativ $K$ are forma algebrică

f = a_{n} X^{n} + a_{n - 1} X^{n - 1} + \dots + a_{1} X + a_{0}, a_{0}, \dots, a_{n} \in K .

$a_{n}$ (nenul) este coeficientul dominant, $a_{0}$ este termenul liber; mulțimea polinoamelor se notează $K [X]$ .
Egalitate: $f = g$ dacă au aceiași coeficienți pentru fiecare putere a lui $X$ .
Funcția polinomială asociată: $\tilde{f} : K \to K$ , $\tilde{f} (x) = a_{n} x^{n} + \dots + a_{0}$ . Valoarea în $a$ se notează $f (a)$ .
Operații: adunarea (pe coeficienți), înmulțirea (fiecare termen cu fiecare), înmulțirea cu un scalar. Peste un corp, $grad (f g) = grad f + grad g$ .

Ce reprezintă f(1)?

Teorema împărțirii cu rest

3 min

Teoremă. Pentru orice $f, g \in K [X]$ , $g \neq = 0$ , există și sunt unice polinoamele $q, r \in K [X]$ astfel încât

f = g \cdot q + r, grad r < grad g .

$q$ este câtul, $r$ este restul. Dacă $r = 0$ , $g$ divide $f$ .

Exercițiu de tip BAC: împărțirea lungă

Determinați câtul și restul împărțirii lui $f = X^{4} + 2 X^{3} - X + 3$ la $g = X^{2} + X - 1$ .

Primul termen al câtului: $X^{4} : X^{2} = X^{2}$ . Scădem $X^{2} g = X^{4} + X^{3} - X^{2}$ și obținem $X^{3} + X^{2} - X + 3$ .

Al doilea termen: $X^{3} : X^{2} = X$ . Scădem $X g = X^{3} + X^{2} - X$ și obținem $3$ .

Gradul lui $3$ este mai mic decât 2, deci $q = X^{2} + X$ și $r = 3$ . Verificare: $(X^{2} + X - 1) (X^{2} + X) + 3 = X^{4} + 2 X^{3} - X + 3$ .

Împărțirea la X − a. Schema lui Horner

3 min

Teorema restului. Restul împărțirii lui $f$ la $X - a$ este $f (a)$ : din $f = (X - a) q + r$ cu $r$ constant, pentru $X = a$ obținem $f (a) = r$ .

Schema lui Horner pentru $f = a_{n} X^{n} + \dots + a_{0}$ și $X - a$ : pe primul rând coeficienții (inclusiv zerourile), pe al doilea $b_{n - 1} = a_{n}$ , apoi $b_{k - 1} = a \cdot b_{k} + a_{k}$ ; ultimul număr este restul.

Exercițiu de tip BAC: schema lui Horner

Împărțiți $f = 2 X^{3} - 5 X^{2} + 4 X - 7$ la $X - 2$ .

X^{3}

X^{2}

X^{1}

X^{0}

coeficienții lui

f

−5

−7

a = 2

2 \cdot 2 - 5 = - 1

2 \cdot (- 1) + 4 = 2

2 \cdot 2 - 7 = - 3

	$X^{3}$	$X^{2}$	$X^{1}$	$X^{0}$
coeficienții lui $f$	2	−5	4	−7
$a = 2$	2	$2 \cdot 2 - 5 = - 1$	$2 \cdot (- 1) + 4 = 2$	$2 \cdot 2 - 7 = - 3$

Câtul $q = 2 X^{2} - X + 2$ , restul $r = - 3$ . Verificare: $f (2) = 16 - 20 + 8 - 7 = - 3$ .

Schema lui Horner, pas cu pas

Cobori primul coeficient, apoi fiecare număr nou este 2 · (cel din stânga) + (cel de deasupra). Ultimul, −3, e restul, iar 2, −1, 2 sunt coeficienții câtului 2X² − X + 2.

Restul la un polinom de gradul al doilea

9 min 2 întrebări la final

Dacă $g$ are gradul 2, restul are forma $r = m X + n$ . Dacă $g = (X - a) (X - b)$ cu $a \neq = b$ :

f (a) = ma + n, f (b) = mb + n .

Dacă $g = X^{2} + 1$ , folosești $f (i) = mi + n$ și identifici partea reală și imaginară (pentru $f$ cu coeficienți reali).

Exercițiu de tip BAC: restul la (X − 1)(X + 2)

Restul împărțirii lui $f = X^{10} + X + 1$ la $(X - 1) (X + 2)$ .

$r = m X + n$ ; $f (1) = 3 = m + n$ ; $f (- 2) = 1024 - 2 + 1 = 1023 = - 2 m + n$ .

Scăzând: $3 m = 3 - 1023 = - 1020$ , deci $m = - 340$ și $n = 343$ .

Restul: $r = - 340 X + 343$ .

BAC 2021, model, II.2.a (valori ale funcției polinomiale în ℤ₃)

$f = X^{4} + a X^{3} + \hat{2} X + b \in Z_{3} [X]$ , cu $a = \hat{1}$ , $b = \hat{2}$ : $f = X^{4} + X^{3} + \hat{2} X + \hat{2}$ .

$f (\hat{0}) = \hat{2}$ , $f (\hat{2}) = \hat{1} + \hat{2} + \hat{1} + \hat{2} = \hat{0}$ (în $Z_{3}$ : $\hat{2}^{4} = \hat{1}$ , $\hat{2}^{3} = \hat{2}$ , $\hat{2} \cdot \hat{2} = \hat{1}$ ).

$f (\hat{0}) + f (\hat{2}) = \hat{2}$ (răspunsul de barem).

BAC 2023, model, II.2.b (rest la un polinom de gradul 2)

$f = X^{4} + a X^{3} + a X^{2} + 8 X - 8$ , $a \in R$ . Determinați $a$ pentru care restul împărțirii lui $f$ la $g = X^{2} - 1$ este egal cu $15 X$ .

Restul are forma $m X + n$ , iar $g = (X - 1) (X + 1)$ : $f (1) = 1 + 2 a = m + n$ și $f (- 1) = - 15 = - m + n$ , de unde $m = a + 8$ , $n = a - 7$ . Restul este $(a + 8) X + a - 7$ .

$(a + 8) X + a - 7 = 15 X ⟺ a + 8 = 15$ și $a - 7 = 0$ , deci $a = 7$ .

Barem oficial: restul $(a + 8) X + a - 7$ 3p; $a = 7$ 2p.

BAC 2025, sesiunea august, varianta 9, II.2.c (teorema restului)

Pentru $f = X^{4} - 3 X^{3} + X^{2} - 2 X$ , determinați numerele reale $a$ pentru care restul împărțirii lui $f$ la $X - a$ este egal cu $a$ .

Restul este $f (a)$ , deci $f (a) = a ⟺ a^{4} - 3 a^{3} + a^{2} - 3 a = 0 ⟺ a (a - 3) (a^{2} + 1) = 0$ . Cum $a$ este real, $a = 0$ sau $a = 3$ .

Barem oficial: $f (a) = a$ și ecuația 3p; soluțiile 2p.

Care e restul împărțirii lui f la X − a?

Câtul și restul lui X⁴ + 2X³ − X + 3 la X² + X − 1?

Ce se cere la BAC

3 mincum apare la examen

a) valori ale funcției polinomiale (model 2021: $f (\hat{0}) + f (\hat{2}) = \hat{2}$ în $Z_{3}$ ), câtul și restul la o împărțire.
b) parametri din condiții de rest sau divizibilitate (vezi lecția despre teorema lui Bézout).
La model 2021, punctul a) s-a punctat cu 3p pentru calculul valorilor $f (\hat{0})$ , $f (\hat{2})$ și 2p pentru sumă.
Câtul și restul la un polinom de gradul 2 au fost cerute direct: iunie 2025, v1, II.2.b ( $X^{3} + 3 X^{2} - X - 6 = X (X^{2} + 3 X - 1) - 6$ : câtul $X$ , restul $- 6$ ) și iunie 2026 rezervă, v7, II.2.b ( $X^{4} - X^{3} + X^{2} + X - 6 = X^{2} (X^{2} - X + 1) + X - 6$ : câtul $X^{2}$ , restul $X - 6$ ), cu 3p pe cât și 2p pe rest.

Greșeli care costă puncte

1 mincapcanele de evitat

Coeficienți lipsă în schema lui Horner (zerourile termenilor care lipsesc).
Semnul lui $a$ : pentru $X + 2$ folosești $a = - 2$ .
Rest de grad prea mare sau neegal cu forma $m X + n$ .
Calcule în $Z_{p}$ nereduse modulo $p$ .
Gradul produsului în inele cu divizori ai lui zero (de exemplu $Z_{6} [X]$ , în afara programei de corpuri): formula $grad (f g) = grad f + grad g$ e garantată doar peste un corp.

Termeni-cheie

Forma algebrică: f = aₙXⁿ + aₙ₋₁Xⁿ⁻¹ + … + a₁X + a₀, cu coeficienți în corpul K; dacă aₙ ≠ 0, gradul lui f este n.
Funcția polinomială: f̃: K → K, f̃(x) = aₙxⁿ + … + a₀. Valoarea f(a) se obține înlocuind X cu a.
Egalitatea polinoamelor: Două polinoame sunt egale dacă au coeficienții termenilor de același grad egali.
Gradul produsului: Peste un corp: grad(f·g) = grad f + grad g; grad(f + g) ≤ max(grad f, grad g).
Teorema împărțirii cu rest: Pentru f, g ∈ K[X], g ≠ 0, există și sunt unice q, r ∈ K[X] cu f = g·q + r și grad r < grad g.
Teorema restului: Restul împărțirii lui f la X − a este f(a).
Schema lui Horner: Algoritm pentru împărțirea la X − a: coborâți primul coeficient, apoi fiecare nou coeficient = precedentul înmulțit cu a plus coeficientul următor; ultimul număr este restul f(a).
Valori utile: f(1) = suma coeficienților; f(0) = termenul liber; f(−1) = suma coeficienților cu semne alternante după grad.

Notițele mele

Salvat local