Divizibilitate, teorema lui Bézout, rădăcini, descompunere în factori ireductibili

Divizibilitatea polinoamelor, teorema lui Bézout și consecințele ei, rădăcini multiple, c.m.m.d.c. prin algoritmul lui Euclid și descompunerea în factori ireductibili peste ℚ, ℝ, ℂ și ℤₚ.

26 min
La BAC: Subiectul al II-lea (2)
Verificat pe bareme

Ilustrație generată pentru ZECE (artistică, nu o planșă științifică: pentru detalii exacte vezi schemele din lecție).

ții minte doar fișa asta și ești acoperit

Fișa de aur

01
Bézout: f(a) = 0 ⇔ (X − a) | f. Orice condiție de divizibilitate cu factori de gradul 1 devine valori nule ale lui f.
02
f divizibil cu (X − a)(X − b), a ≠ b ⇔ f(a) = 0 și f(b) = 0: două ecuații pentru doi parametri.
03
Rădăcină dublă a: f(a) = 0 și f′(a) = 0 (sau Horner de două ori cu rest 0).
04
Peste ℂ ireductibile sunt doar cele de gradul 1; peste ℝ, și cele de gradul 2 cu Δ < 0.
Truc: Peste ℝ, „ireductibil de gradul 2” = parabolă care nu atinge axa Ox.
05
Gradul 2 sau 3 fără rădăcini în K ⇒ ireductibil peste K (merge și în ℤₚ: încerci toate clasele).

1 din 7

Pe scurt

2 minesențialul, de recitit oricând

Culorile din lecție:termenidee-cheie

$g ∣ f$ dacă $f = g h$ ; echivalent, restul lui $f$ la $g$ este 0.
Teorema lui Bézout: $f (a) = 0 ⟺ (X - a) ∣ f$ .
Pentru $a \neq = b$ : $(X - a) (X - b) ∣ f ⟺ f (a) = f (b) = 0$ .
Rădăcină multiplă de ordin $m$ : $(X - a)^{m} ∣ f$ și $(X - a)^{m + 1} ∤ f$ ; rădăcina dublă verifică $f (a) = f^{'} (a) = 0$ .
Ireductibile: peste $C$ doar gradul 1; peste $R$ gradul 1 și gradul 2 cu $Δ < 0$ ; gradele 2 și 3 sunt ireductibile peste $K$ exact când nu au rădăcini în $K$ .

Divizibilitate și teorema lui Bézout

10 min 2 întrebări la final

Definiție. Polinomul $g$ divide polinomul $f$ (scriem $g ∣ f$ ) dacă există $h \in K [X]$ cu $f = g \cdot h$ .

Teorema lui Bézout. Fie $f \in K [X]$ și $a \in K$ . Atunci $a$ este rădăcină a lui $f$ dacă și numai dacă $X - a$ divide $f$ .

Demonstrație: restul împărțirii lui $f$ la $X - a$ este $f (a)$ ; deci $f (a) = 0 ⟺$ restul este 0.

Consecințe.

dacă $a_{1}, \dots, a_{k}$ sunt rădăcini distincte ale lui $f$ , atunci $(X - a_{1}) \dots (X - a_{k}) ∣ f$ ;
un polinom nenul de grad $n$ are cel mult $n$ rădăcini în corpul $K$ ;
$f$ se divide cu $X^{2} + 1$ (coeficienți reali) $⟺ f (i) = 0$ ; cu $X^{2} + X + 1$ (tot pentru coeficienți reali) $⟺ f (ε) = 0$ , unde $ε^{2} + ε + 1 = 0$ (și $ε^{3} = 1$ ).

BAC 2021, model, II.2.b

În $Z_{3} [X]$ : $f = X^{4} + a X^{3} + \hat{2} X + b$ , $a, b \in Z_{3}$ . Determinați perechile $(a, b)$ pentru care $f$ este divizibil cu $X + \hat{2}$ .

În $Z_{3}$ , $X + \hat{2} = X - \hat{1}$ . Din teorema lui Bézout, $f$ este divizibil cu $X + \hat{2} ⟺ f (\hat{1}) = \hat{0}$ .

$f (\hat{1}) = \hat{1} + a + \hat{2} + b = a + b$ (pentru că $\hat{1} + \hat{2} = \hat{0}$ ), deci condiția este $a + b = \hat{0}$ .

Cum $a, b \in Z_{3}$ , perechile sunt $(\hat{0}, \hat{0})$ , $(\hat{1}, \hat{2})$ și $(\hat{2}, \hat{1})$ .

Barem oficial: echivalența $f (\hat{1}) = \hat{0} ⟺ a + b = \hat{0}$ 3p, perechile 2p.

Exercițiu de tip BAC: doi parametri

Determinați $a, b \in R$ pentru care $f = X^{3} + a X^{2} + b X - 6$ este divizibil cu $(X - 1) (X - 2)$ .

Cum $1 \neq = 2$ , condiția este $f (1) = 0$ și $f (2) = 0$ :

{1 + a + b - 6 = 0 8 + 4 a + 2 b - 6 = 0 ⟺ {a + b = 5 2 a + b = - 1

Scăzând: $a = - 6$ , apoi $b = 11$ . Atunci $f = X^{3} - 6 X^{2} + 11 X - 6 = (X - 1) (X - 2) (X - 3)$ .

BAC 2026, sesiunea august, varianta 4, II.2.b

$f = X^{3} + X^{2} + a X + 8$ , $a \in R$ . Determinați $a$ pentru care $f$ este divizibil cu $g = X + 2$ .

Din teorema lui Bézout, $f$ este divizibil cu $X + 2 = X - (- 2) ⟺ f (- 2) = 0$ . Cum $f (- 2) = - 8 + 4 - 2 a + 8 = 4 - 2 a$ , obținem $4 - 2 a = 0$ , deci $a = 2$ .

Barem oficial: $f (- 2) = 4 - 2 a$ 3p; $a = 2$ 2p. Același tip: iulie 2024, v10, II.2.b ( $f = X^{3} - 2 X^{2} - X + 2$ , $f (- 1) = 0$ , deci $f$ e divizibil cu $X + 1$ ).

Care e c.m.m.d.c. al lui X³ − 1 și X² − 1?

Model 2021: când este f = X⁴ + aX³ + 2̂X + b ∈ ℤ₃[X] divizibil cu X + 2̂?

Rădăcini multiple

3 min o întrebare la final

$a$ este rădăcină de ordin $m$ dacă $(X - a)^{m} ∣ f$ , dar $(X - a)^{m + 1} ∤ f$ . Practic:

aplici Horner de mai multe ori cu același $a$ : de câte ori restul este 0;
sau, pentru polinoame cu coeficienți reali: $a$ este rădăcină cel puțin dublă $⟺ f (a) = 0$ și $f^{'} (a) = 0$ .

Exercițiu de tip BAC: rădăcină dublă

Determinați $a \in R$ pentru care $f = X^{3} - 3 X + a$ are o rădăcină dublă.

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 0 ⟺ x \in {- 1, 1}$ . Rădăcina dublă trebuie să fie printre aceste valori.

$f (1) = a - 2 = 0 ⟺ a = 2$ , și atunci $f = (X - 1)^{2} (X + 2)$ .

$f (- 1) = a + 2 = 0 ⟺ a = - 2$ , și atunci $f = (X + 1)^{2} (X - 2)$ .

Deci $a \in {- 2, 2}$ .

Rădăcina dublă înseamnă tangență la Ox

a = 1

Mută cursorul: la a = 2 graficul atinge Ox în x = 1, iar la a = −2 în x = −1. Acolo f și f′ se anulează împreună, deci rădăcina este dublă.

Pentru ce a are X³ − 3X + a rădăcina dublă 1?

C.m.m.d.c. și c.m.m.m.c.

2 min

C.m.m.d.c. al lui $f$ și $g$ este polinomul monic (coeficient dominant 1) $d$ care divide ambele polinoame și este divizibil cu orice divizor comun al lor. Se obține prin algoritmul lui Euclid: împarți $f$ la $g$ , apoi $g$ la rest și așa mai departe; ultimul rest nenul, făcut monic, este c.m.m.d.c.

Exemplu: $X^{3} - 1 = X (X^{2} - 1) + (X - 1)$ și $X^{2} - 1 = (X - 1) (X + 1)$ , deci $(X^{3} - 1, X^{2} - 1) = X - 1$ .

C.m.m.m.c.: $[f, g] = \frac{f g}{d}$ , unde $d = (f, g)$ , făcut monic. În exemplu: $[X^{3} - 1, X^{2} - 1] = (X^{3} - 1) (X + 1)$ .

Polinoame ireductibile și descompunerea în factori

5 min

Definiție. Un polinom $f \in K [X]$ de grad cel puțin 1 este ireductibil peste $K$ dacă nu se poate scrie $f = g h$ cu $g, h \in K [X]$ de grad cel puțin 1.

Proprietate. Orice polinom de grad cel puțin 1 se scrie ca produs de polinoame ireductibile, în mod unic (până la ordinea factorilor și factori constanți).

CorpPolinoamele ireductibile

C

doar cele de gradul 1

R

gradul 1 și gradul 2 cu

Δ < 0

Q

Z_{p}

gradul 1; gradul 2 sau 3 fără rădăcini în corp; există ireductibile de orice grad

Corp	Polinoamele ireductibile
$C$	doar cele de gradul 1
$R$	gradul 1 și gradul 2 cu $Δ < 0$
$Q$ , $Z_{p}$	gradul 1; gradul 2 sau 3 fără rădăcini în corp; există ireductibile de orice grad

Exercițiu de tip BAC: aceeași descompunere, corpuri diferite

$X^{4} - 1 = (X^{2} - 1) (X^{2} + 1) = (X - 1) (X + 1) (X^{2} + 1)$ peste $Q$ și $R$ ( $X^{2} + 1$ are $Δ = - 4 < 0$ ).

Peste $C$ : $X^{4} - 1 = (X - 1) (X + 1) (X - i) (X + i)$ .

Peste $Z_{5}$ : $\hat{1}^{4} = \hat{2}^{4} = \hat{3}^{4} = \hat{4}^{4} = \hat{1}$ , deci $X^{4} - \hat{1} = (X - \hat{1}) (X - \hat{2}) (X - \hat{3}) (X - \hat{4})$ .

$X^{4} + 4$ nu are rădăcini reale, dar nu este ireductibil peste $R$ :

X^{4} + 4 = (X^{2} + 2)^{2} - 4 X^{2} = (X^{2} - 2 X + 2) (X^{2} + 2 X + 2),

iar fiecare factor are $Δ = - 4 < 0$ , deci este ireductibil peste $R$ .

Ce se cere la BAC

3 mincum apare la examen

Model 2021, II.2.b: divizibilitatea cu $X + \hat{2}$ în $Z_{3} [X]$ , răspuns de barem $a + b = \hat{0}$ , perechile $(\hat{0}, \hat{0}), (\hat{1}, \hat{2}), (\hat{2}, \hat{1})$ .
August 2026, v4, II.2.b: $X + 2 ∣ X^{3} + X^{2} + a X + 8 ⟺ f (- 2) = 0 ⟺ a = 2$ (3p + 2p).
Iulie 2024, v10, II.2.b: pentru $a = 1$ , $f (- 1) = 0$ , deci $f = X^{3} - 2 X^{2} - X + 2$ este divizibil cu $X + 1$ ; la c), din $f (2) = 0$ pentru orice $a$ rezultă $f = (X - 2) (X^{2} - a)$ .
Cerințe tipice: „Determinați $m$ pentru care $f$ este divizibil cu $X - 1$ ”, „…cu $X^{2} - 3 X + 2$ ”, „Arătați că $f$ are o rădăcină dublă”, „Descompuneți $f$ în factori ireductibili peste $R$ ”.

Greșeli care costă puncte

1 mincapcanele de evitat

Bézout aplicat fără să-l numești: scrie „din teorema lui Bézout, $f$ divizibil cu $X - a ⟺ f (a) = 0$ ”.
$(X - a)^{2} ∣ f$ tratat ca $f (a) = 0$ (lipsește condiția $f^{'} (a) = 0$ sau al doilea Horner).
Ireductibilitate dedusă din lipsa rădăcinilor la gradul 4 (contraexemplul $X^{4} + 4$ ).
În $Z_{p}$ : rădăcina lui $X + \hat{k}$ este $- \hat{k} = p - k$ .
C.m.m.d.c. nemonic: rezultatul se normează la coeficient dominant 1.

Termeni-cheie

Divizibilitate: g divide f (g | f) dacă există h ∈ K[X] cu f = g·h; echivalent, restul împărțirii lui f la g (g ≠ 0) este 0.
Rădăcină: a ∈ K este rădăcină a lui f dacă f(a) = 0.
Teorema lui Bézout: a este rădăcină a lui f dacă și numai dacă X − a divide f.
Rădăcină multiplă de ordin m: (X − a)ᵐ divide f, dar (X − a)ᵐ⁺¹ nu divide f. Rădăcină dublă: f(a) = 0 și f′(a) = 0, cu f″(a) ≠ 0.
Divizibilitatea cu (X − a)(X − b): Pentru a ≠ b: f se divide cu (X − a)(X − b) dacă și numai dacă f(a) = 0 și f(b) = 0.
C.m.m.d.c.: Polinomul monic de grad maxim care divide ambele polinoame; se obține prin algoritmul lui Euclid (împărțiri succesive).
Polinom ireductibil: Polinom de grad cel puțin 1 care nu se poate scrie ca produs de două polinoame de grad cel puțin 1 din K[X].
Ireductibile peste ℂ și ℝ: Peste ℂ: doar cele de gradul 1. Peste ℝ: cele de gradul 1 și cele de gradul 2 cu Δ < 0.
Criteriul pentru gradele 2 și 3: Un polinom de gradul 2 sau 3 din K[X] este ireductibil peste K dacă și numai dacă nu are rădăcini în K.

Notițele mele

Salvat local

Surse

Programa de examen Matematică M_mate-info, Bacalaureat 2015 (Anexa 2 la OMEN 4430/2014), clasa a XII-a, Inele de polinoame
BAC 2021, model, Subiectul al II-lea, 2.b (subiect și barem)
BAC 2026, sesiunea august, varianta 4, Subiectul al II-lea, 2.b (subiect și barem)
BAC 2024, sesiunea iunie-iulie, varianta 10, Subiectul al II-lea, 2.b–c