Inele și corpuri; calcul în ℤₙ

Axiomele inelului și ale corpului, exemplele din programă, divizori ai lui zero și elemente inversabile în ℤₙ, ecuații în ℤₙ, inele cu legi „mutate” și morfisme de inele.

26 min
La BAC: Subiectul al II-lea (2)
Verificat pe bareme

Ilustrație generată pentru ZECE (artistică, nu o planșă științifică: pentru detalii exacte vezi schemele din lecție).

ții minte doar fișa asta și ești acoperit

Fișa de aur

01
Inel: (A, +) grup abelian, înmulțirea asociativă cu 1, distributivă față de adunare.
02
Corp: inel cu 1 ≠ 0 în care orice element nenul e inversabil. Exemple: ℚ, ℝ, ℂ, ℤₚ cu p prim.
03
În ℤₙ: â inversabil ⇔ (a, n) = 1; celelalte clase nenule sunt divizori ai lui zero.
Truc: În ℤ₆, 2̂·3̂ = 0̂: „doi ori trei face zero” doar pe ceasul cu 6 ore.
04
Ecuația â·x = b̂ în ℤₙ, cu (a, n) = 1: înmulțești cu inversul lui â și obții x = â⁻¹·b̂.
05
Legile x + y − a și (x − a)(y − a) + a pe ℤ formează un inel izomorf cu (ℤ, +, ·) prin f(x) = x − a: zero = a, unitatea = a + 1.

1 din 6

Pe scurt

2 minesențialul, de recitit oricând

Culorile din lecție:termenidee-cheie

Inel $(A, +, \cdot)$ : $(A, +)$ grup abelian; $\cdot$ asociativă, cu element neutru $1$ ; distributivă față de $+$ .
Corp: inel cu $1 \neq = 0$ în care orice element nenul este inversabil.
Exemple: inelele $Z, Q, R, C$ , $Z_{n}$ , $M_{n} (R)$ , funcțiile reale; corpurile $Q, R, C$ , $Z_{p}$ cu $p$ prim.
În $Z_{n}$ : $\overset{a}{^}$ inversabil $⟺ (a, n) = 1$ ; altfel $\overset{a}{^} \neq = \hat{0}$ este divizor al lui zero.
$Z_{n}$ este corp $⟺ n$ este prim.

Inel

5 min o întrebare la final

Definiție. Un triplet $(A, +, \cdot)$ , cu două legi de compoziție pe $A$ , este inel dacă:

$(A, +)$ este grup abelian (neutrul se notează $0$ );
înmulțirea este asociativă și are element neutru $1$ ;
înmulțirea este distributivă față de adunare: $x (y + z) = x y + x z$ și $(y + z) x = y x + z x$ , pentru orice $x, y, z \in A$ .

Dacă înmulțirea este comutativă, inelul este comutativ.

Aceasta este definiția din manualele de clasa a XII-a: $(A, +)$ grup abelian, $(A, \cdot)$ monoid (asociativă, cu element neutru), distributivitate pe ambele părți. În unele cărți (mai ales la facultate) existența lui 1 nu face parte din definiție, iar inelul cu 1 se numește „inel unitar”. La BAC structurile date au mereu element unitate, deci când demonstrezi că ceva e inel arăți și existența lui 1.

Reguli de calcul: $x \cdot 0 = 0 \cdot x = 0$ ; $(- x) y = x (- y) = - (x y)$ ; $(- x) (- y) = x y$ .

Divizori ai lui zero. $a \neq = 0$ este divizor al lui zero dacă există $b \neq = 0$ cu $ab = 0$ sau $ba = 0$ . Exemple: $\hat{2} \cdot \hat{3} = \hat{0}$ în $Z_{6}$ ; $(1000) (0001) = O_{2}$ în $M_{2} (R)$ .

Inel integru: comutativ, cu $1 \neq = 0$ , fără divizori ai lui zero ( $Z$ , $Q$ , $R$ , $C$ ).

Care sunt divizorii lui zero din ℤ₆?

Corp

4 min o întrebare la final

Definiție. Un inel $(K, +, \cdot)$ cu $1 \neq = 0$ este corp dacă orice element nenul este inversabil. Dacă înmulțirea e comutativă, corpul este comutativ.

Un corp nu are divizori ai lui zero: din $ab = 0$ și $a \neq = 0$ rezultă $b = a^{- 1} ab = 0$ .

(Z, +, \cdot)

Inel

Corp

Motiv

2 nu are invers în

Z

(Q, +, \cdot)

(R, +, \cdot)

(C, +, \cdot)

Inel

Corp

Motiv

orice nenul are invers

(Z_{n}, +, \cdot)

n

compus

Inel

Corp

Motiv

n = d k

1 < d < n

\hat{d} \cdot \hat{k} = \hat{0}

(Z_{p}, +, \cdot)

p

prim

Inel

Corp

Motiv

(a, p) = 1

pentru

a = 1, \dots, p - 1

(M_{n} (R), +, \cdot)

n \geq 2

Inel

da, necomutativ

Corp

Motiv

are divizori ai lui zero

1 / 5

Structură	Inel	Corp	Motiv
$(Z, +, \cdot)$	da	nu	2 nu are invers în $Z$
$(Q, +, \cdot)$ , $(R, +, \cdot)$ , $(C, +, \cdot)$	da	da	orice nenul are invers
$(Z_{n}, +, \cdot)$ , $n$ compus	da	nu	$n = d k$ , $1 < d < n$ : $\hat{d} \cdot \hat{k} = \hat{0}$
$(Z_{p}, +, \cdot)$ , $p$ prim	da	da	$(a, p) = 1$ pentru $a = 1, \dots, p - 1$
$(M_{n} (R), +, \cdot)$ , $n \geq 2$	da, necomutativ	nu	are divizori ai lui zero

Este (ℤ₉, +, ·) corp?

Calcul în ℤₙ

12 min o întrebare la final

$Z_{n} = {\hat{0}, \hat{1}, \dots, n - 1}$ , cu $\overset{a}{^} + \hat{b} = a + b$ și $\overset{a}{^} \cdot \hat{b} = ab$ (se ia restul împărțirii la $n$ ).

inversabilele: $\overset{a}{^}$ cu $(a, n) = 1$ ; inversul se găsește încercând $\overset{a}{^} \cdot \overset{x}{^} = \hat{1}$ ;
ecuația $\overset{a}{^} x = \hat{b}$ cu $\overset{a}{^}$ inversabil: $x = \overset{a}{^}^{- 1} \hat{b}$ , soluție unică;
suma tuturor elementelor lui $Z_{n}$ : $\hat{0} + \hat{1} + \dots + n - 1 = \overset{s}{^}$ , cu $s = \frac{n ( n - 1 )}{2}$ ; pentru $n$ impar suma este $\hat{0}$ .

Exercițiu de tip BAC: tabla înmulțirii în ℤ₆

\hat{1}

\hat 1

\hat{1}

\hat 2

\hat{2}

\hat 3

\hat{3}

\hat 4

\hat{4}

\hat 5

\hat{5}

\hat{2}

\hat 1

\hat{2}

\hat 2

\hat{4}

\hat 3

\hat{0}

\hat 4

\hat{2}

\hat 5

\hat{4}

\hat{3}

\hat 1

\hat{3}

\hat 2

\hat{0}

\hat 3

\hat{3}

\hat 4

\hat{0}

\hat 5

\hat{3}

\hat{4}

\hat 1

\hat{4}

\hat 2

\hat{2}

\hat 3

\hat{0}

\hat 4

\hat{4}

\hat 5

\hat{2}

\hat{5}

\hat 1

\hat{5}

\hat 2

\hat{4}

\hat 3

\hat{3}

\hat 4

\hat{2}

\hat 5

\hat{1}

1 / 5

$\cdot$	$\hat{1}$	$\hat{2}$	$\hat{3}$	$\hat{4}$	$\hat{5}$
$\hat{1}$	$\hat{1}$	$\hat{2}$	$\hat{3}$	$\hat{4}$	$\hat{5}$
$\hat{2}$	$\hat{2}$	$\hat{4}$	$\hat{0}$	$\hat{2}$	$\hat{4}$
$\hat{3}$	$\hat{3}$	$\hat{0}$	$\hat{3}$	$\hat{0}$	$\hat{3}$
$\hat{4}$	$\hat{4}$	$\hat{2}$	$\hat{0}$	$\hat{4}$	$\hat{2}$
$\hat{5}$	$\hat{5}$	$\hat{4}$	$\hat{3}$	$\hat{2}$	$\hat{1}$

Inversabile: $\hat{1}$ (inversul $\hat{1}$ ) și $\hat{5}$ (inversul $\hat{5}$ ). Divizori ai lui zero: $\hat{2}, \hat{3}, \hat{4}$ . Deci $Z_{6}$ nu este corp.

Divizorii lui zero, în tabla lui ℤ₆

Fără căciuliță, fiecare 0 vine din două clase nenule, deci 2, 3 și 4 sunt divizori ai lui zero. Doar liniile lui 1 și 5 conțin 1: acestea sunt inversabilele.

Exercițiu de tip BAC: ecuație în ℤ₇

Rezolvați în $Z_{7}$ ecuația $\hat{3} x + \hat{4} = \hat{1}$ .

$\hat{3} x = \hat{1} - \hat{4} = \hat{4}$ (pentru că $- 3 + 7 = 4$ ).

Inversul lui $\hat{3}$ : $\hat{3} \cdot \hat{5} = 15 = \hat{1}$ , deci $\hat{3}^{- 1} = \hat{5}$ .

$x = \hat{5} \cdot \hat{4} = 20 = \hat{6}$ . Verificare: $\hat{3} \cdot \hat{6} + \hat{4} = 22 = \hat{1}$ .

BAC 2021, model, II.2.a (calcul în ℤ₃)

În $Z_{3} [X]$ , $f = X^{4} + a X^{3} + \hat{2} X + b$ . Pentru $a = \hat{1}$ și $b = \hat{2}$ : $f = X^{4} + X^{3} + \hat{2} X + \hat{2}$ .

$f (\hat{0}) = \hat{2}$ ; $f (\hat{2}) = 16 + \hat{8} + \hat{4} + \hat{2} = 30 = \hat{0}$ .

$f (\hat{0}) + f (\hat{2}) = \hat{2} + \hat{0} = \hat{2}$ (răspunsul din barem: $3 p + 2 p$ ).

Exercițiu de tip BAC: inel cu legi mutate

Pe $Z$ : $x ⊥ y = x + y - 2$ și $x \circ y = x y - 2 x - 2 y + 6$ . Arătați că $(Z, ⊥, \circ)$ este inel comutativ și determinați elementul nul și unitatea.

Fie $f : Z \to Z$ , $f (x) = x - 2$ , bijectivă (inversa $y \mapsto y + 2$ ). Atunci

f (x ⊥ y) = x + y - 4 = f (x) + f (y), f (x \circ y) = (x - 2) (y - 2) = f (x) f (y) .

Așadar $x ⊥ y = f^{- 1} (f (x) + f (y))$ și $x \circ y = f^{- 1} (f (x) f (y))$ : toate axiomele inelului comutativ $(Z, +, \cdot)$ se transportă prin $f^{- 1}$ .

Elementul nul: $f^{- 1} (0) = 2$ (verificare: $x ⊥ 2 = x$ ). Unitatea: $f^{- 1} (1) = 3$ (verificare: $x \circ 3 = (x - 2) \cdot 1 + 2 = x$ ).

Care e unitatea inelului (ℤ, ⊥, ∘), x ⊥ y = x + y − 2, x ∘ y = (x − 2)(y − 2) + 2?

Ce se cere la BAC

3 mincum apare la examen

Model 2021, II.2: polinom în $Z_{3} [X]$ . a) $f (\hat{0}) + f (\hat{2}) = \hat{2}$ ; b) divizibilitatea cu $X + \hat{2}$ $⟺ f (\hat{1}) = \hat{0} ⟺ a + b = \hat{0}$ , perechile $(\hat{0}, \hat{0}), (\hat{1}, \hat{2}), (\hat{2}, \hat{1})$ ; c) argument cu $f (\hat{0}) + f (\hat{1}) + f (\hat{2}) = \hat{2}$ și $\hat{0} + \hat{1} + \hat{2} = \hat{0}$ .
În subiectele M_mate-info 2022–2026 consultate (sesiuni, rezerve, simulări, modele), II.2 nu a mai cerut inele, corpuri sau calcul în $Z_{n}$ : a fost o lege de compoziție (pe $R$ , pe un interval sau, la simularea 2022, pe $C$ ) sau un polinom cu coeficienți reali. Capitolul rămâne în programă, deci poate reveni.
Tipuri de cerințe: „Rezolvați în $Z_{n}$ ecuația…”, „Determinați elementele inversabile…”, „Arătați că $(A, ⊥, \circ)$ este inel/corp”, „Arătați că $f$ este izomorfism de inele”.

Greșeli care costă puncte

1 mincapcanele de evitat

Împărțire în $Z_{n}$ cu un element neinversabil („ $\hat{2} x = \hat{4} \Rightarrow x = \hat{2}$ ” în $Z_{6}$ pierde soluția $\hat{5}$ ).
Calcule fără reducere modulo $n$ la final: răspunsul trebuie dat ca $\hat{0}, \dots, n - 1$ .
Corp declarat fără $1 \neq = 0$ sau fără inversul fiecărui element nenul.
Morfism de inele fără $f (1) = 1$ sau fără una dintre cele două relații.

Termeni-cheie

Inel: (A, +, ·): (A, +) grup abelian, înmulțirea asociativă cu element neutru 1 și distributivă față de adunare, la stânga și la dreapta.
Inel comutativ: Inel în care înmulțirea este comutativă.
Divizor al lui zero: a ≠ 0 pentru care există b ≠ 0 cu a·b = 0 sau b·a = 0. În ℤ₆: 2̂·3̂ = 0̂.
Element inversabil: a ∈ A pentru care există a⁻¹ ∈ A cu a·a⁻¹ = a⁻¹·a = 1. În ℤₙ, â este inversabil dacă și numai dacă (a, n) = 1.
Inel integru: Inel comutativ, cu 1 ≠ 0, fără divizori ai lui zero (de exemplu ℤ).
Corp: Inel cu 1 ≠ 0 în care orice element nenul este inversabil. Corp comutativ: ℚ, ℝ, ℂ, ℤₚ cu p prim.
ℤₙ corp: (ℤₙ, +, ·) este corp dacă și numai dacă n este număr prim.
Morfism de inele: f: A → B cu f(x + y) = f(x) + f(y), f(xy) = f(x)f(y) și f(1) = 1. Bijectiv: izomorfism de inele.

Notițele mele

Salvat local

Surse

Programa de examen Matematică M_mate-info, Bacalaureat 2015 (Anexa 2 la OMEN 4430/2014), clasa a XII-a, Inele și corpuri
BAC 2021, model, Subiectul al II-lea, 2 (subiect și barem)
Manual Matematică clasa a XII-a (definiția inelului: (A, +) grup abelian, (A, ·) monoid, distributivitate), extras CLB