Determinanți: calcul, proprietăți, aplicații în geometrie

Determinantul de ordin 2 și 3 (regula lui Sarrus, regula triunghiului), dezvoltarea după o linie, proprietățile care scurtează calculul, determinantul Vandermonde și aplicațiile: dreapta prin două puncte, aria triunghiului, coliniaritatea.

28 min
La BAC: Subiectul al II-lea (1)
Verificat pe bareme

Ilustrație generată pentru ZECE (artistică, nu o planșă științifică: pentru detalii exacte vezi schemele din lecție).

ții minte doar fișa asta și ești acoperit

Fișa de aur

01
Ordin 2: ad − bc. Ordin 3: Sarrus sau regula triunghiului: trei produse cu plus, trei cu minus.
02
Fă zerouri înainte să calculezi: scăzând o coloană din alta determinantul nu se schimbă. Apoi dezvolți după linia cu zerouri.
Truc: Ca la curățenie: întâi strângi, apoi numeri.
03
Două linii egale sau proporționale ⇒ det = 0. Schimbi două linii ⇒ semnul se schimbă. Factorul comun al unei linii iese în față.
04
det(AB) = det A · det B și det(kA) = kⁿ·det A (nu k·det A).
05
Vandermonde: liniile 1, 1, 1; a, b, c; a², b², c² dau (b − a)(c − a)(c − b).
06
Geometrie: Δ = 0 ⇔ puncte coliniare; aria = ½·|Δ| (cu modul!).

1 din 8

Pe scurt

2 minesențialul, de recitit oricând

Culorile din lecție:termenidee-cheie

Ordin 2: $a c b d = a d - b c$ . Ordin 3: regula lui Sarrus sau regula triunghiului.
Ordin $n$ : dezvoltarea după o linie (coloană), cu complemente algebrice $Γ_{ij} = (- 1)^{i + j} d_{ij}$ .
Proprietăți: transpusa are același determinant; linii egale/proporționale sau o linie nulă dau 0; schimbarea a două linii schimbă semnul; adunarea unui multiplu al altei linii nu schimbă determinantul.
$det (A B) = det A \cdot det B$ , $det (k A) = k^{n} det A$ .
Vandermonde de ordin 3: $(b - a) (c - a) (c - b)$ .
Geometrie: dreapta prin două puncte, aria $= \frac{1}{2} ∣ Δ ∣$ , coliniaritate $\Leftrightarrow Δ = 0$ .

Determinanți de ordin 2 și 3

1 min 2 întrebări la final

a_{11} a_{21} a_{31} a_{12} a_{22} a_{32} a_{13} a_{23} a_{33} = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31} - a_{11} a_{23} a_{32} - a_{12} a_{21} a_{33}

Regula lui Sarrus: scrii sub determinant primele două linii; cele trei produse pe diagonale „în jos” au semnul plus, cele trei „în sus” au semnul minus. Regula triunghiului dă aceiași șase termeni fără să rescrii liniile.

Exemplu:

123231312 = 6 + 6 + 6 - 27 - 1 - 8 = - 18

Regula lui Sarrus

Rescrii primele două linii sub determinant. Produsele pe cele trei diagonale care coboară spre dreapta (evidențiate) intră cu plus, cele pe diagonalele care coboară spre stânga (punctate) intră cu minus.

Cât este det(3A) pentru A de ordin 3 cu det A = 2?

Când sunt coliniare trei puncte A, B, C?

Dezvoltarea după o linie sau o coloană

3 min

Pentru $A \in M_{n} (C)$ , minorul $d_{ij}$ este determinantul de ordin $n - 1$ obținut prin eliminarea liniei $i$ și a coloanei $j$ , iar complementul algebric este $Γ_{ij} = (- 1)^{i + j} d_{ij}$ . Atunci, pentru orice linie $i$ ,

det A = a_{i 1} Γ_{i 1} + a_{i 2} Γ_{i 2} + \dots + a_{in} Γ_{in}

și analog după orice coloană. Aceasta este metoda pentru ordinul 4 (inclus în programă).

Exemplu. Determinant de ordin 4

D = 1020211100103042

Linia a 2-a are un singur element nenul, $a_{22} = 1$ , cu semnul $(- 1)^{2 + 2} = + 1$ :

D = 1 \cdot 120010342 = 2 \cdot 1201 = 2

(al doilea pas: dezvoltare după linia a 3-a, care are un singur element nenul, 2, pe poziția (3, 3)).

Proprietățile determinanților

6 min o întrebare la final

Operație asupra matriceiEfect asupra determinantului

Transpunere

nu se schimbă:

det (^{t} A) = det A

O linie (coloană) nulă

det A = 0

Două linii (coloane) egale sau proporționale

det A = 0

Schimbarea a două linii (coloane)

se schimbă semnul

O linie înmulțită cu

k

determinantul se înmulțește cu

k

(factor comun)

Adunarea la o linie a unui multiplu al altei linii

nu se schimbă

Matrice triunghiulară

produsul elementelor de pe diagonală

Produs de matrice

det (A B) = det A \cdot det B

Înmulțirea întregii matrice cu

k

det (k A) = k^{n} det A

Operație asupra matricei	Efect asupra determinantului
Transpunere	nu se schimbă: $det (^{t} A) = det A$
O linie (coloană) nulă	$det A = 0$
Două linii (coloane) egale sau proporționale	$det A = 0$
Schimbarea a două linii (coloane)	se schimbă semnul
O linie înmulțită cu $k$	determinantul se înmulțește cu $k$ (factor comun)
Adunarea la o linie a unui multiplu al altei linii	nu se schimbă
Matrice triunghiulară	produsul elementelor de pe diagonală
Produs de matrice	$det (A B) = det A \cdot det B$
Înmulțirea întregii matrice cu $k$	$det (k A) = k^{n} det A$

Strategia de barem pentru determinanți cu parametri: nu dezvolta direct cu Sarrus o matrice plină de expresii. Fă întâi zerouri (scazi o coloană din alta), scoate factorii comuni, apoi dezvoltă după linia cu zerouri. Așa obții direct forma factorizată cerută.

Exemplu, matrice triunghiulară: $200530 - 1 7 - 4 = 2 \cdot 3 \cdot (- 4) = - 24$ .

Determinantul Vandermonde (ordin 3):

1 a a^{2} 1 b b^{2} 1 c c^{2} = (b - a) (c - a) (c - b)

Ce se întâmplă cu determinantul dacă schimbi două linii?

Aplicații în geometria plană

2 min

Pentru punctele $A (x_{A}, y_{A})$ , $B (x_{B}, y_{B})$ , $C (x_{C}, y_{C})$ se notează

Δ = x_{A} x_{B} x_{C} y_{A} y_{B} y_{C} 111

Ecuația dreptei prin $A$ și $B$ (distincte): $x x_{A} x_{B} y y_{A} y_{B} 111 = 0$ .
Aria triunghiului $A B C$ : $A = \frac{1}{2} ∣ Δ ∣$ .
Coliniaritate: $A$ , $B$ , $C$ coliniare $\Leftrightarrow Δ = 0$ .

Exemplu. Dreaptă, arie, coliniaritate

Dreapta prin $A (1, 2)$ și $B (3, 6)$ :

x 13 y 26 111 = x (2 - 6) - y (1 - 3) + (6 - 6) = - 4 x + 2 y = 0 \Rightarrow y = 2 x

Punctul $C (- 1, - 2)$ verifică $y = 2 x$ , deci $Δ = 0$ și $A$ , $B$ , $C$ sunt coliniare.

Aria triunghiului cu vârfurile $(1, 1)$ , $(4, 2)$ , $(2, 5)$ : $Δ = 11$ , deci $A = \frac{11}{2}$ .

Exemple rezolvate din subiecte oficiale

9 min

Model BAC 2021, II.1.a–b

Se consideră $A (a, b, c) = 1 a b c 1 b a c 1 c ab$ .

a) $det (A (0, 1, 2)) = 102110120 = 0 + 0 + 4 - 2 - 0 - 0 = 2$ .

b) Scădem prima coloană din a doua și din a treia:

det (A (a, b, c)) = 1 a b c 0 b - a a c - b c 0 c - a ab - b c = 1 a b c 0 b - a - c (b - a) 0 c - a - b (c - a)

= (b - a) (c - a) 1 - c 1 - b = (b - a) (c - a) (c - b)

pentru orice numere reale $a$ , $b$ , $c$ . Barem: 2p pentru transformarea coloanelor, 3p pentru factorizare și rezultat.

c) Dacă $m < n < p$ sunt naturale și $(n - m) (p - m) (p - n)$ este prim, atunci $p - m > p - n > 0$ , $p - m > n - m > 0$ , deci doi factori sunt 1: $p - n = n - m = 1$ , adică $m$ , $n$ , $p$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

BAC 2020, sesiunea specială, varianta 1, II.1.a–b

$A (a) = 1 a a 2 - a 1 2 a - 5 a 1 a - 2$ .

a) $det (A (0)) = 100 21 - 5 01 - 2 = - 2 + 0 + 0 - 0 - (- 5) - 0 = 3$ .

b) Barem: scăzând prima linie din a doua, linia a doua devine $(a - 1, a - 1, 1 - a)$ ; se scoate factorul $(a - 1)$ , se adună prima coloană la a treia și se scade din a doua, apoi se dezvoltă după linia a doua. Se obține

det (A (a)) = (a - 1) (3 a^{2} - 8 a - 3) = (a - 1) (a - 3) (3 a + 1), pentru orice a \in R

Factorizarea se verifică: $(a - 3) (3 a + 1) = 3 a^{2} + a - 9 a - 3 = 3 a^{2} - 8 a - 3$ .

BAC 2024, iunie–iulie, varianta 10, II.1.a și II.1.c

$M (x) = x 00 0 x + 2 2 x 0 x x + 2$ , $x \in R$ .

a) Dezvoltând după prima linie, $det (M (1)) = 1 \cdot (3 \cdot 3 - 1 \cdot 2) = 9 - 2 = 7$ (2p + 3p).

c) Determinați numerele naturale $n$ pentru care $2 det (M (n)) \leq det (M (2 n))$ .

Tot după prima linie: $det (M (x)) = x ((x + 2)^{2} - 2 x^{2}) = x (- x^{2} + 4 x + 4)$ , deci $det (M (n)) = n (- n^{2} + 4 n + 4)$ și $det (M (2 n)) = 2 n (- 4 n^{2} + 8 n + 4)$ (2p). Inegalitatea devine $2 n (- n^{2} + 4 n + 4) \leq 2 n (- 4 n^{2} + 8 n + 4)$ , adică $n^{2} (3 n - 4) \leq 0$ ; pentru $n$ natural, n = 0 sau n = 1 (3p).

BAC 2026, iunie–iulie, varianta 3, II.1.a–b

$A (a) = 1 a 0 a 32 a a 1$ este matricea sistemului $x + a y + a z = 1$ , $a x + 3 y + a z = 0$ , $2 y + z = 0$ .

a) $det (A (1)) = 110132111 = 3 + 2 + 0 - 0 - 2 - 1 = 2$ (2p + 3p).

b) Cu regula lui Sarrus, $det (A (a)) = 3 + 2 a^{2} - 2 a - a^{2} = a^{2} - 2 a + 3$ (3p). Cum $a^{2} - 2 a + 3 = (a - 1)^{2} + 2 \neq = 0$ pentru orice $a$ real, sistemul are soluție unică pentru orice $a$ (2p; lecția despre Cramer).

Toate valorile au fost recalculate; identitățile cu parametri au fost verificate pe zeci de valori raționale.

Ce se cere la BAC

3 mincum apare la examen

a) determinantul unei matrice particulare (2020 specială: $det (A (0)) = 3$ ; model 2021: $det (A (0, 1, 2)) = 2$ ; 2020 iunie: $det (A (0)) = - 1$ ; 2024 iunie: $det (M (1)) = 7$ ; 2026 iunie: $det (A (1)) = 2$ ). Barem tipic: 2p scrierea, 3p calculul.
b) forma generală a determinantului, factorizată (2020 specială: $(a - 1) (a - 3) (3 a + 1)$ ; model 2021: $(b - a) (c - a) (c - b)$ ).
c) folosește b): soluție unică $\Leftrightarrow det \neq = 0$ (lecția despre Cramer), inversabilitate (lecția despre inversă), un argument de divizibilitate (model 2021: determinant prim ⇒ progresie aritmetică) sau o inecuație cu determinanți (2024 iunie: $n \in {0, 1}$ ).

Greșeli care costă puncte

1 mincapcanele de evitat

Semnele la Sarrus: termenii pe diagonala secundară se scad toți.
Semnul complementului algebric $(- 1)^{i + j}$ uitat la dezvoltare.
det(kA) = k·det A: fals; corect $k^{n} det A$ .
Aria negativă: lipsește modulul.
Dezvoltare „cu forța” a unui determinant cu parametri: ajungi la un polinom pe care nu-l mai poți factoriza; fă întâi zerouri.

Termeni-cheie

Determinant de ordin 2: Pentru A = (a b; c d): det A = ad − bc.
Regula lui Sarrus: Pentru ordin 3: se adaugă primele două linii sub determinant; suma produselor pe diagonalele descendente minus suma celor ascendente.
Minorul d_ij: Determinantul obținut eliminând linia i și coloana j.
Complementul algebric: Γ_ij = (−1)^(i+j)·d_ij, unde d_ij este minorul elementului a_ij.
Dezvoltarea după o linie: det A = a_i1·Γ_i1 + a_i2·Γ_i2 + ... + a_in·Γ_in (analog după o coloană).
Determinantul produsului: det(AB) = det A · det B, pentru A, B pătratice de același ordin.
Determinantul lui kA: det(kA) = kⁿ·det A, pentru A de ordin n.
Determinant Vandermonde (ordin 3): Determinantul cu liniile 1, 1, 1; a, b, c; a², b², c² este egal cu (b − a)(c − a)(c − b).
Ecuația dreptei prin două puncte: Dreapta prin A(x1, y1) și B(x2, y2): determinantul cu liniile (x, y, 1), (x1, y1, 1), (x2, y2, 1) este 0.
Aria triunghiului: Aria ABC = ½·|Δ|, unde Δ are liniile (xA, yA, 1), (xB, yB, 1), (xC, yC, 1).
Coliniaritatea a trei puncte: A, B, C sunt coliniare dacă și numai dacă Δ = 0.

Notițele mele

Salvat local