Matricea inversă

Când o matrice este inversabilă (determinant nenul), algoritmul cu transpusa și adjuncta, formula rapidă pentru ordinul 2, inversa dintr-o relație polinomială și condiția ca inversa să aibă elemente întregi.

25 min
La BAC: Subiectul al II-lea (1)
Verificat pe bareme

Ilustrație generată pentru ZECE (artistică, nu o planșă științifică: pentru detalii exacte vezi schemele din lecție).

ții minte doar fișa asta și ești acoperit

Fișa de aur

01
A inversabilă ⇔ det A ≠ 0. Orice cerință „arătați că A este inversabilă” începe cu calculul determinantului.
02
Algoritm: det A → ᵗA → adjuncta (complemente algebrice) → A⁻¹ = adjuncta împărțită la det A. La final verifici o linie din A·A⁻¹.
03
Ordin 2: schimbi a cu d, schimbi semnul lui b și c, împarți la ad − bc.
Truc: „Schimbă locul pe diagonală, schimbă semnul în afara ei.”
04
Dintr-o relație A² − 3A + 2I = O scoți direct A⁻¹ = (3I − A)/2: dai factor comun pe A.
05
Matrice cu elemente întregi: inversa are elemente întregi ⇔ det A = ±1, pentru că det A · det A⁻¹ = 1 cu ambii factori întregi.

1 din 8

Pe scurt

2 minesențialul, de recitit oricând

Culorile din lecție:termencifră, datăidee-cheie

$A \in M_{n} (C)$ este inversabilă dacă există $A^{- 1}$ cu $A A^{- 1} = A^{- 1} A = I_{n}$ ; inversa este unică.
Teoremă: $A$ inversabilă $\Leftrightarrow det A \neq = 0$ .
Algoritm: $det A$ ; transpusa $^{t} A$ ; adjuncta $A^{*}$ ; $A^{- 1} = (det A)^{- 1} A^{*}$ .
Ordin 2: $(a c b d)^{- 1} = \frac{1}{a d - b c} (d - c - b a)$ .
Proprietăți: $(A B)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1}$ , $(A^{- 1})^{- 1} = A$ , $det (A^{- 1}) = 1/ det A$ .
Matrice cu elemente întregi: $A^{- 1}$ are elemente întregi $\Leftrightarrow det A \in {- 1, 1}$ .

Definiție și criteriu

3 min o întrebare la final

Matricea $A \in M_{n} (C)$ se numește inversabilă dacă există $B \in M_{n} (C)$ astfel încât $A B = B A = I_{n}$ . Matricea $B$ este unică și se notează $A^{- 1}$ .

Teoremă. $A$ este inversabilă dacă și numai dacă $det A \neq = 0$ .

De ce determinantul decide: dacă $A A^{- 1} = I_{n}$ , atunci $det A \cdot det (A^{- 1}) = det I_{n} = 1$ , deci $det A \neq = 0$ . Reciproc, dacă $det A \neq = 0$ , matricea $(det A)^{- 1} A^{*}$ verifică ambele egalități (proprietate demonstrată în manual prin dezvoltarea determinantului după linii).

Consecință importantă: pentru matrice pătratice, e suficient să verifici o singură egalitate, $A B = I_{n}$ ; cealaltă rezultă.

Când este inversabilă o matrice pătratică?

Algoritmul de calcul

4 min

Determinantul
Calculezi $d = det A$ ; dacă $d = 0$ , matricea nu este inversabilă și te oprești.
Transpusa
Scrii $^{t} A$ (liniile devin coloane).
Adjuncta
Înlocuiești fiecare element al lui $^{t} A$ cu complementul său algebric în $^{t} A$ : obții $A^{*}$ .
Inversa
$A^{- 1} = \frac{1}{d} A^{*}$ . Verifici rapid un element din $A A^{- 1}$ .

Exemplul 1. Inversa unei matrice de ordin 3

$A = 101210011$ , $det A = 1 + 2 + 0 - 0 - 0 - 0 = 3 \neq = 0$ , deci $A$ este inversabilă.

^{t} A = 120011101, A^{*} = 11 - 1 - 2 12 2 - 1 1

De exemplu, elementul (1, 1) al lui $A^{*}$ este $(- 1)^{1 + 1} 1101 = 1$ , iar elementul (1, 2) este $(- 1)^{1 + 2} 2001 = - 2$ .

A^{- 1} = \frac{1}{3} 11 - 1 - 2 12 2 - 1 1

Verificare: prima linie a lui $A$ ori prima coloană a lui $A^{*}$ : $1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + 0 \cdot (- 1) = 3$ , împărțit la 3 dă 1.

Exemplul 2. Ordin 2, formula rapidă

$A = (2153)$ , $det A = 6 - 5 = 1$ , deci $A^{- 1} = (3 - 1 - 5 2)$ .

Inversa la ordinul 2, dintr-o privire

Diagonala principală își schimbă locurile, cealaltă diagonală își schimbă semnul, apoi împarți la det A. Aici det A = 1, deci nu mai împarți cu nimic.

Inversa dintr-o relație polinomială

1 min

Dacă știi o relație de tipul $A^{2} - 3 A + 2 I_{2} = O_{2}$ , dai factor comun pe $A$ :

A (3 I_{2} - A) = 2 I_{2} \Rightarrow A \cdot \frac{1}{2} (3 I_{2} - A) = I_{2} \Rightarrow A^{- 1} = \frac{1}{2} (3 I_{2} - A)

Exemplul 3. Inversa fără adjunctă

$A = (1102)$ : $tr A = 3$ , $det A = 2$ , deci (Hamilton–Cayley) $A^{2} - 3 A + 2 I_{2} = O_{2}$ și

A^{- 1} = \frac{1}{2} (3 - 1 - 1 0 3 - 2) = (1 - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2})

Același rezultat dă formula rapidă de ordin 2.

Proprietăți și inverse cu elemente întregi

4 min o întrebare la final

$(A B)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1}$ ; $(A^{- 1})^{- 1} = A$ ; $(^{t} A)^{- 1} =^{t} (A^{- 1})$ ; $(k A)^{- 1} = \frac{1}{k} A^{- 1}$ , $k \neq = 0$ .
$det (A^{- 1}) = 1/ det A$ .

Elemente întregi. Dacă $A$ are elemente întregi și $A^{- 1}$ are elemente întregi, atunci $det A$ și $det (A^{- 1})$ sunt numere întregi cu produsul 1, deci $det A \in {- 1, 1}$ . Reciproc, dacă $det A = \pm 1$ , $A^{- 1} = \pm A^{*}$ , iar $A^{*}$ are elemente întregi (complementele algebrice sunt determinanți cu elemente întregi).

Pentru ce determinanți are inversa elemente întregi?

Itemi oficiali rezolvați

7 min o întrebare la final

BAC 2020, iunie–iulie, varianta 6, II.1

$A (a) = a a^{2} + 1 1 a + 1 a^{2} + 2 2 a + 2 a^{2} + 3 4$ , $a \in R$ .

a) $det (A (0)) = 011122234 = 0 + 4 + 3 - 4 - 0 - 4 = - 1$ .

b) Barem: $det (A (a)) = - (a^{2} - a + 1)$ , pentru orice $a$ real (3p). Cum $a^{2} - a + 1$ are discriminantul $1 - 4 = - 3 < 0$ , expresia nu se anulează, deci $det (A (a)) \neq = 0$ și $A (a)$ este inversabilă pentru orice $a$ real (2p).

c) Pentru $a \in Z$ , $A (a)$ are elemente întregi; inversa are toate elementele întregi dacă $det (A (a))$ este divizor al lui 1. Cum $det (A (a)) < 0$ , obținem $det (A (a)) = - 1$ , adică $a^{2} - a + 1 = 1$ , de unde a = 0 sau a = 1 (3p + 2p).

Control: $A (0)^{- 1} = - 2 10 02 - 1 1 - 2 1$ , cu elemente întregi.

BAC 2021, august, varianta 4, II.1.b–c

$A (a) = 10 1 + lo g_{2} a 0 a 0 001$ , $a \in (0, + \infty)$ .

b) $det (A (a)) = a \neq = 0$ pentru orice $a > 0$ (dezvoltare după prima linie), deci $A (a)$ este inversabilă.

(A (a))^{- 1} = 10 - 1 - lo g_{2} a 0 \frac{1}{a} 0 001, A (a) + (A (a))^{- 1} = 200 0 a + \frac{1}{a} 0 002

det (A (a) + (A (a))^{- 1}) = 4 (a + \frac{1}{a}) \geq 8, deoarece a + \frac{1}{a} \geq 2 pentru a > 0

Barem: 2p inversa, 3p suma, determinantul și inegalitatea.

Model BAC 2026, II.1.a–b

$A (a) = a 12 011 - 2 1 - a - 2$ , $a \in R$ .

a) $det (A (0)) = 012011 - 2 1 - 2 = 0 + 0 - 2 + 4 - 0 - 0 = 2$ (2p + 3p).

b) Determinați mulțimea numerelor reale $a$ pentru care $A (a)$ este inversabilă.

$det (A (a)) = a^{2} - 3 a + 2$ , pentru orice $a$ real (2p). $det (A (a)) = 0 \Leftrightarrow a \in {1, 2}$ , deci $A (a)$ este inversabilă dacă și numai dacă $a \in R ∖ {1, 2}$ (3p).

BAC 2024, sesiunea specială, varianta 9, II.1.c

$A (x) = 10 x x 01 x x - 1 1$ , $x \in R$ . Arătați că, dacă $A (x)$ este inversabilă, atunci și $A (- x)$ este inversabilă.

$det (A (x)) = (x - 1)^{2} (x + 1)$ ; $A (x)$ inversabilă $\Leftrightarrow det (A (x)) \neq = 0 \Leftrightarrow x \in R ∖ {- 1, 1}$ (3p). Atunci și $- x \in R ∖ {- 1, 1}$ , deci $det (A (- x)) \neq = 0$ și $A (- x)$ este inversabilă (2p).

Cât este det(A⁻¹)?

Ce se cere la BAC

2 mincum apare la examen

„Determinați mulțimea valorilor lui a pentru care A(a) este inversabilă” (model 2026, II.1.b): rădăcinile lui $det (A (a))$ se exclud din $R$ .
„Arătați că A este inversabilă” (b): determinant nenul. 2020 iunie: $- (a^{2} - a + 1) \neq = 0$ ; 2021 august: $det = a > 0$ .
„Determinați inversa”: algoritmul complet; uneori doar într-un caz particular ( $A (1)$ , $A (0)$ ).
c) cu inversa: elemente întregi ( $det = \pm 1$ ; 2020 iunie: $a \in {0, 1}$ ), o inegalitate cu $A + A^{- 1}$ (2021 august: $\geq 8$ ), o ecuație $A X = B$ (lecția următoare).

Greșeli care costă puncte

1 mincapcanele de evitat

Inversa calculată fără să verifici $det A \neq = 0$ (corectorul vrea justificarea existenței).
Adjuncta fără transpunere sau cu semnele complementelor greșite.
Împărțirea uitată la $det A$ .
$(A B)^{- 1} = A^{- 1} B^{- 1}$ în loc de $B^{- 1} A^{- 1}$ .
La elemente întregi: concluzia „ $det A = 1$ ” uitând cazul $det A = - 1$ .

Termeni-cheie

Matrice inversabilă: A ∈ Mn(C) este inversabilă dacă există B ∈ Mn(C) cu AB = BA = In; B se notează A⁻¹ și este unică.
Criteriul de inversabilitate: A este inversabilă în Mn(C) dacă și numai dacă det A ≠ 0.
Matrice singulară: Matrice pătratică cu determinantul 0; nu are inversă.
Matricea adjunctă A*: Matricea obținută înlocuind fiecare element al transpusei ᵗA cu complementul său algebric.
Formula inversei: A⁻¹ = (1/det A)·A*.
Inversa de ordin 2: Pentru A = (a b; c d) cu ad − bc ≠ 0: A⁻¹ = 1/(ad − bc)·(d −b; −c a).
Inversa produsului: (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹ (ordinea se inversează).
Determinantul inversei: det(A⁻¹) = 1/det A.
Inversă cu elemente întregi: O matrice cu elemente întregi are inversa cu elemente întregi dacă și numai dacă det A ∈ {−1, 1}.

Notițele mele

Salvat local