Puterile unei matrice și matricele de forma A(x)

Cum calculezi A la puterea n: inducția matematică, relația A² = kA, descompunerea A = I + N cu N² = O, relația Hamilton–Cayley pentru matrice 2×2 și familiile A(x) închise la înmulțire.

25 min
La BAC: Subiectul al II-lea (1)
Verificat pe bareme

Ilustrație generată pentru ZECE (artistică, nu o planșă științifică: pentru detalii exacte vezi schemele din lecție).

ții minte doar fișa asta și ești acoperit

Fișa de aur

01
Pentru Aⁿ: calculezi A², A³, ghicești forma și o demonstrezi prin inducție. Fără inducție, formula e doar o bănuială.
02
Dacă A² = kA, atunci Aⁿ = k^(n−1)·A. Verifici întâi A², apoi aplici.
Truc: Exemplu: matricea cu toți 1 de ordin 2 are A² = 2A, deci A⁵ = 16A.
03
Dacă A = I + N cu N² = O, atunci Aⁿ = I + nN (I comută cu orice matrice).
04
Hamilton–Cayley (2×2): A² − tr(A)·A + det(A)·I2 = O2. Îți dă A² fără să înmulțești și coboară orice putere.
05
La familiile A(x): arăți întâi A(x)A(y) = A(ceva), apoi produsele lungi se strâng într-o singură matrice.

1 din 9

Pe scurt

2 minesențialul, de recitit oricând

Culorile din lecție:termenidee-cheie

Pentru $A \in M_{n} (C)$ : $A^{1} = A$ , $A^{k + 1} = A^{k} \cdot A$ ; puterile lui $A$ comută între ele: $A^{p} A^{q} = A^{p + q}$ .
Metoda generală: calculezi $A^{2}$ , $A^{3}$ , propui o formulă, o demonstrezi prin inducție matematică.
Scurtături: $A^{2} = k A \Rightarrow A^{n} = k^{n - 1} A$ ; $A = I + N$ , $N^{2} = O \Rightarrow A^{n} = I + n N$ .
Hamilton–Cayley (ordin 2): $A^{2} - (a + d) A + (a d - b c) I_{2} = O_{2}$ .
Familii A(x): dacă $A (x) A (y) = A (x * y)$ , produsele de multe matrice se strâng într-una singură.

Inducția matematică pentru o putere

2 min

Pentru a demonstra o formulă $P (n)$ „pentru orice $n \in N^{*}$ ”:

Verificare
Arăți că $P (1)$ este adevărată (uneori și $P (2)$ , ca să vezi forma).
Ipoteză
Presupui $P (k)$ adevărată pentru un $k \in N^{*}$ oarecare.
Pasul de inducție
Calculezi $A^{k + 1} = A^{k} \cdot A$ folosind ipoteza și obții forma din $P (k + 1)$ .
Concluzie
„Conform principiului inducției matematice, $P (n)$ este adevărată pentru orice $n \in N^{*}$ .”

Relația A² = kA

1 min

Dacă $A^{2} = k A$ , atunci prin inducție $A^{n} = k^{n - 1} A$ : din $A^{k} = k^{k - 1} A$ rezultă

A^{k + 1} = A^{k} \cdot A = k^{k - 1} A \cdot A = k^{k - 1} A^{2} = k^{k - 1} \cdot k A = k^{k} A

Apare la matricele cu toate liniile proporționale (de rang 1), de exemplu $(1111)$ , pentru care $A^{2} = 2 A$ .

Descompunerea A = I + N, cu N² = O

2 min o întrebare la final

Fie $I$ matricea unitate de ordinul lui $N$ . Cum $I$ comută cu orice matrice, pentru $(I + N)^{n}$ se poate folosi binomul lui Newton. Dacă $N^{2} = O$ , toți termenii cu $N^{2}, N^{3}, \dots$ sunt nuli și rămâne

(I + N)^{n} = I + (1 n) N = I + n N, n \in N^{*}

Când poți scrie (I + N)ⁿ = I + nN?

Relația Hamilton–Cayley pentru matrice de ordin 2

1 min o întrebare la final

Pentru $A = (a c b d)$ are loc

A^{2} - (a + d) A + (a d - b c) I_{2} = O_{2}, adic \overset{a}{˘} A^{2} = tr (A) A - det (A) I_{2}

Relația se verifică prin calcul direct (la BAC o poți folosi după ce o verifici pe matricea dată). Avantajul: orice putere $A^{n}$ se scrie ca $x_{n} A + y_{n} I_{2}$ , iar dacă $det A = 0$ ajungi exact la cazul $A^{2} = k A$ , cu $k = tr (A)$ .

Ce cauți când se cere Aⁿ

Primul pas e mereu același: calculezi A² și te uiți ce formă are. Formula pentru Aⁿ o demonstrezi apoi prin inducție.

Care e relația Hamilton–Cayley pentru o matrice 2×2?

Familii A(x) închise la înmulțire

1 min o întrebare la final

Multe probleme definesc o matrice $A (x)$ și cer la b) o relație de tipul $A (x) A (y) = A (x + y)$ , $A (x) A (y) = A (x y)$ sau $A (z_{1}) A (z_{2}) = A (z_{1} z_{2})$ . Consecințe:

produsele se pot regrupa (înmulțirea e asociativă) și, dacă familia comută, se pot reordona;
dacă $A (x) A (y) = A (x + y)$ , atunci $A (x)^{n} = A (n x)$ , prin inducție.

Dacă A² = 3A, cât este A⁴?

Exemple rezolvate

10 min

Exemplul 1. A = I + N

Calculați $A^{n}$ pentru $A = (1021)$ .

$A = I_{2} + N$ , cu $N = (0020)$ și $N^{2} = O_{2}$ . Cum $I_{2} N = N I_{2}$ ,

A^{n} = (I_{2} + N)^{n} = I_{2} + n N = (10 2 n 1), n \in N^{*}

De exemplu, $A^{2026} = (1040521)$ .

Exemplul 2. A² = kA

Pentru $A = (1111)$ : $A^{2} = (2222) = 2 A$ .

Inducție: $P (1)$ : $A^{1} = 2^{0} A$ , adevărat. Dacă $A^{k} = 2^{k - 1} A$ , atunci $A^{k + 1} = 2^{k - 1} A^{2} = 2^{k - 1} \cdot 2 A = 2^{k} A$ . Deci $A^{n} = 2^{n - 1} A$ , pentru orice $n \in N^{*}$ .

În particular, $A^{5} = 16 A = (16161616)$ .

Exemplul 3. Hamilton–Cayley

Pentru $A = (3 - 2 10)$ : $tr (A) = 3$ , $det A = 0 - (- 2) = 2$ , deci $A^{2} = 3 A - 2 I_{2}$ .

Verificare: $A^{2} = (7 - 6 3 - 2)$ și $3 A - 2 I_{2} = (9 - 2 - 6 3 0 - 2) = (7 - 6 3 - 2)$ .

Mai departe: $A^{3} = 3 A^{2} - 2 A = 3 (3 A - 2 I_{2}) - 2 A = 7 A - 6 I_{2} = (15 - 14 7 - 6)$ .

Exemplul 4. Model BAC 2022, II.1.b–c

Se consideră $B = 10 - 2 0 i 0 10 - 1$ și $A (z) = a I_{3} + b B$ , unde $z = a + ib$ , $a, b \in R$ .

b) Calcul: $B \cdot B = - I_{3}$ . Pentru $z_{1} = a + ib$ , $z_{2} = c + i d$ :

A (z_{1}) A (z_{2}) = (a I_{3} + b B) (c I_{3} + d B) = a c I_{3} + (a d + b c) B + b d B^{2} = (a c - b d) I_{3} + (a d + b c) B = A (z_{1} z_{2})

c) Determinați $n$ natural pentru care $A (1 + i) A (2 + i) A (3 + i) A (1 - i) A (2 - i) A (3 - i) = n I_{3}$ .

Aplicând b) de mai multe ori, produsul este $A (z)$ cu $z = (1 + i) (1 - i) (2 + i) (2 - i) (3 + i) (3 - i) = 2 \cdot 5 \cdot 10 = 100$ , deci $A (100) = 100 I_{3}$ și n = 100 (răspunsul din barem).

Exemplul 5. BAC 2026, iunie–iulie (rezervă), varianta 7, II.1.b–c (relația A² = kA)

$A (a) = 2 a - 1 00 2 - 1 2 1 - a 2 a$ , $a \in R$ .

b) Arătați că $A (a) \cdot A (a) = (2 a - 1) A (a)$ , pentru orice $a$ real.

A (a) \cdot A (a) = (2 a - 1)^{2} 00 4 a - 2 1 - 2 a 4 a - 2 2 a - 1 a - 2 a^{2} 4 a^{2} - 2 a = (2 a - 1) 2 a - 1 00 2 - 1 2 1 - a 2 a = (2 a - 1) A (a)

(barem: 3p produsul, 2p scoaterea factorului $2 a - 1$ ).

c) Pentru $B (n) = A (n) + n I_{3}$ , $n$ natural, determinați $n$ pentru care $A (n) \cdot B (n) = 2 n^{2} A (n)$ .

$A (n) B (n) = A (n)^{2} + n A (n) = (2 n - 1) A (n) + n A (n) = (3 n - 1) A (n)$ (3p). Cum $A (n) \neq = O_{3}$ , din $(3 n - 1) A (n) = 2 n^{2} A (n)$ rezultă $2 n^{2} - 3 n + 1 = 0$ , cu soluțiile $1$ și $\frac{1}{2}$ ; $n$ natural, deci n = 1 (2p).

Exemplul 6. BAC 2025, iunie–iulie, varianta 1, II.1.b–c (familie A(x))

$A (x) = 2 - 3 x 0 - 9 x 020 x 0 2 + 3 x$ , $x \in R$ .

b) Prin calcul, $A (x) A (y) = 4 - 6 x - 6 y 0 - 18 x - 18 y 040 2 x + 2 y 0 4 + 6 x + 6 y = 2 A (x + y)$ , pentru orice $x, y$ reali (3p + 2p).

c) Determinați $x$ real pentru care $(A (x) + A (3 x)) \cdot A (2 x) = 4 A (x^{2})$ .

Elementele lui $A (x)$ sunt de gradul I în $x$ , deci $A (x) + A (3 x) = 2 A (2 x)$ ; cu b), $(A (x) + A (3 x)) A (2 x) = 2 A (2 x) A (2 x) = 4 A (4 x)$ (3p). Din $4 A (4 x) = 4 A (x^{2})$ , egalând elementele de pe poziția (1, 3): $4 x = x^{2}$ , deci x = 0 sau x = 4 (2p).

Toate rezultatele au fost recalculate: puterile prin înmulțire repetată exactă, Exemplul 4 cu numere complexe, Exemplele 5–6 exact, pentru mai multe valori ale parametrului.

Ce se cere la BAC

3 mincum apare la examen

Model 2022, II.1.a (5p): $det B = i$ (calcul cu regula triunghiului; barem 3p calcul + 2p rezultat).
Model 2022, II.1.b (5p): $A (z_{1}) A (z_{2}) = A (z_{1} z_{2})$ ; baremul dă 3p pentru dezvoltarea produsului cu $B \cdot B = - I_{3}$ și 2p pentru identificarea cu $A (z_{1} z_{2})$ .
Model 2022, II.1.c (5p): produsul de șase matrice este $A (100) = 100 I_{3}$ , deci $n = 100$ (2p regruparea, 3p rezultatul).
2026 iunie (rezervă), II.1.b–c: $A (a)^{2} = (2 a - 1) A (a)$ , apoi $A (n) B (n) = (3 n - 1) A (n)$ și $n = 1$ .
2025 iunie, II.1.b–c: $A (x) A (y) = 2 A (x + y)$ , apoi $x \in {0, 4}$ .
Variante frecvente la c): „Calculați $A^{2026}$ ”, „Determinați $n$ pentru care $A^{n} = \dots$ ”, „Arătați că $A (x)^{n} = A (n x)$ ”.

Greșeli care costă puncte

2 mincapcanele de evitat

Formula ghicită din primele puteri, fără inducție sau fără o relație demonstrată.
Binomul lui Newton aplicat pentru $(A + B)^{n}$ fără să verifici $A B = B A$ .
La familii $A (x)$ : reordonarea factorilor fără să fi arătat că matricele comută.
Semne în Hamilton–Cayley: $A^{2} = tr (A) A - det (A) I_{2}$ (minus la determinant).
Confuzia $A (x)^{n} = A (x^{n})$ cu $A (x)^{n} = A (n x)$ : depinde de legea din b), nu de intuiție.

Termeni-cheie

Puterea unei matrice pătratice: A¹ = A și A^(n+1) = Aⁿ·A, pentru n natural nenul; prin convenție A⁰ = In.
Inducția matematică: Verifici formula pentru n = 1, presupui P(k) adevărată și demonstrezi P(k+1); apoi concluzia „pentru orice n natural nenul”.
Relația A² = kA: Dacă A² = k·A, atunci Aⁿ = k^(n−1)·A, pentru orice n natural nenul.
Matrice nilpotentă: Matrice N pentru care o putere este matricea nulă; la BAC apare N² = O.
Binomul pentru matrice care comută: Dacă AB = BA, atunci (A + B)ⁿ se dezvoltă ca binomul lui Newton; în particular (I + N)ⁿ = I + nN dacă N² = O.
Relația Hamilton–Cayley (ordin 2): Pentru A = (a b; c d): A² − (a + d)·A + (ad − bc)·I2 = O2.
Familie A(x) închisă la înmulțire: Mulțime de matrice cu A(x)·A(y) = A(x ∗ y); atunci puterile și produsele rămân în familie.

Notițele mele

Salvat local