Matrice și operații cu matrice

Ce este o matrice, egalitatea, adunarea, înmulțirea cu un scalar, înmulțirea a două matrice și transpusa, cu proprietățile pe care le folosește baremul la Subiectul al II-lea.

22 min
La BAC: Subiectul al II-lea (1)
Verificat pe bareme

Ilustrație generată pentru ZECE (artistică, nu o planșă științifică: pentru detalii exacte vezi schemele din lecție).

ții minte doar fișa asta și ești acoperit

Fișa de aur

01
AB există doar dacă nr. coloane A = nr. linii B; elementul (i, j) = linia i din A ori coloana j din B.
Truc: Linia „culcată” peste coloana „în picioare”: înmulțești pereche cu pereche și aduni.
02
AB ≠ BA în general. Dacă ți se cere AB = BA, calculezi ambele produse și le compari element cu element.
03
AB = O nu înseamnă că A = O sau B = O. Exemplul clasic: matricea cu toți 1 ori matricea cu 1, −1.
04
Egalitatea de matrice = egalitatea tuturor elementelor de pe aceleași poziții: o ecuație matriceală 2×2 dă 4 ecuații.
05
ᵗ(AB) = ᵗB · ᵗA (ordinea se inversează). In e neutru la înmulțire, On la adunare.

1 din 8

Pe scurt

2 minesențialul, de recitit oricând

Culorile din lecție:termenidee-cheie

O matrice de tip (m, n) are m linii și n coloane; elementul de pe linia i, coloana j este $a_{ij}$ .
Adunarea și înmulțirea cu un scalar se fac element cu element; cer matrice de același tip (la adunare).
Produsul $A B$ există doar dacă numărul de coloane ale lui $A$ este egal cu numărul de linii ale lui $B$ .
Înmulțirea este asociativă și distributivă, are elementul neutru $I_{n}$ , dar nu este comutativă.
Transpusa: liniile devin coloane; $^{t} (A B) =^{t} B \cdot^{t} A$ .
La BAC, Subiectul al II-lea, problema 1, aproape mereu pornește de la o matrice care depinde de un parametru.

Matrice, tipuri, egalitate

4 min o întrebare la final

O matrice de tip $(m, n)$ cu elemente numere complexe este un tablou

A = a_{11} a_{21} ⋮ a_{m 1} a_{12} a_{22} ⋮ a_{m 2} \dots \dots \dots a_{1 n} a_{2 n} ⋮ a_{mn} = (a_{ij})_{1 \leq i \leq m 1 \leq j \leq n}

Mulțimea lor se notează $M_{m, n} (C)$ . Dacă $m = n$ , matricea este pătratică de ordin n, iar mulțimea se notează $M_{n} (C)$ (analog cu $R$ , $Q$ , $Z$ ).

Matricea unitate

Descriere

1 pe diagonala principală, 0 în rest

Exemplu de ordin 2

I_{2} = (1001)

Matricea nulă

Descriere

toate elementele 0

Exemplu de ordin 2

O_{2} = (0000)

Matrice linie / coloană

Descriere

o singură linie / o singură coloană

Exemplu de ordin 2

(12)

(12)

1 / 3

Matrice	Descriere	Exemplu de ordin 2
Matricea unitate	1 pe diagonala principală, 0 în rest	$I_{2} = (1001)$
Matricea nulă	toate elementele 0	$O_{2} = (0000)$
Matrice linie / coloană	o singură linie / o singură coloană	$(12)$ , $(12)$

Egalitatea: $A = B$ dacă au același tip și $a_{ij} = b_{ij}$ pentru orice $i, j$ . Practic, o egalitate de matrice 2×2 înseamnă patru egalități de numere, iar una 3×3 înseamnă nouă.

Urma unei matrice pătratice este $tr (A) = a_{11} + a_{22} + \dots + a_{nn}$ (suma de pe diagonala principală).

Câte ecuații dă egalitatea a două matrice 2×2?

Adunarea și înmulțirea cu un scalar

1 min

Pentru $A, B$ de același tip și $α \in C$ : $(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$ și $(α A)_{ij} = α a_{ij}$ .

Proprietățile adunării: asociativă, comutativă, are elementul neutru $O_{m, n}$ , iar fiecare matrice are opusa $- A$ .

Proprietățile înmulțirii cu scalar: $α (A + B) = α A + α B$ , $(α + β) A = α A + β A$ , $α (β A) = (α β) A$ , $1 \cdot A = A$ .

Exemplu rapid: pentru $A = (1324)$ ,

2 A - 3 I_{2} = (2648) - (3003) = (- 1 6 45)

Înmulțirea a două matrice

3 min

Dacă $A \in M_{m, n} (C)$ și $B \in M_{n, p} (C)$ , atunci $A B \in M_{m, p} (C)$ și

c_{ij} = k = 1 \sum n a_{ik} b_{k j} = a_{i 1} b_{1 j} + a_{i 2} b_{2 j} + \dots + a_{in} b_{nj}

adică elementul de pe poziția $(i, j)$ este linia i a lui A „înmulțită” cu coloana j a lui B.

Linia din A, coloana din B

Cu matricele din Exemplul 1: elementul de pe linia 1, coloana 2 al lui AB vine din linia 1 a lui A și coloana 2 a lui B: 1 · 1 + 2 · 0 = 1.

Proprietăți (pentru matrice pentru care produsele au sens):

asociativitate: $(A B) C = A (B C)$ ;
distributivitate: $A (B + C) = A B + A C$ și $(A + B) C = A C + B C$ ;
element neutru: $A I_{n} = I_{n} A = A$ pentru $A \in M_{n} (C)$ ;
$α (A B) = (α A) B = A (α B)$ .

Ce NU este adevărat în general:

$A B = B A$ (necomutativitate);
$A B = O \Rightarrow A = O$ sau $B = O$ ;
$(A + B)^{2} = A^{2} + 2 A B + B^{2}$ . Corect este $(A + B)^{2} = A^{2} + A B + B A + B^{2}$ ; formula „de la numere” funcționează doar dacă $A B = B A$ .

Un produs cu tipuri diferite, de exemplu o matrice 2×3 înmulțită cu una 3×2, dă o matrice 2×2:

(13 2 - 1 04) 20 - 3 151 = (1 \cdot 2 + 2 \cdot 0 + 0 \cdot (- 3) 3 \cdot 2 + (- 1) \cdot 0 + 4 \cdot (- 3) 1 \cdot 1 + 2 \cdot 5 + 0 \cdot 1 3 \cdot 1 + (- 1) \cdot 5 + 4 \cdot 1) = (2 - 6 112)

Transpusa unei matrice

1 min o întrebare la final

Transpusa lui $A \in M_{m, n} (C)$ este $^{t} A \in M_{n, m} (C)$ , cu $(^{t} A)_{ij} = a_{j i}$ : prima linie devine prima coloană etc.

Proprietăți: $^{t} (^{t} A) = A$ , $^{t} (A + B) =^{t} A +^{t} B$ , $^{t} (α A) = α^{t} A$ , $^{t} (A B) =^{t} B \cdot^{t} A$ .

Cu ce este egală transpusa lui AB?

Exemple rezolvate

7 min o întrebare la final

Exemplul 1. Necomutativitatea

Se consideră $A = (1324)$ și $B = (0110)$ . Arătați că $A B \neq = B A$ .

A B = (1 \cdot 0 + 2 \cdot 1 3 \cdot 0 + 4 \cdot 1 1 \cdot 1 + 2 \cdot 0 3 \cdot 1 + 4 \cdot 0) = (2413), B A = (3142)

Elementele de pe poziția (1, 1) diferă: $2 \neq = 3$ , deci $A B \neq = B A$ .

Exemplul 2. Egalitate de matrice cu parametri

Determinați numerele reale $a$ și $b$ pentru care $(a 0 1 b)^{2} = (4031)$ .

(a 0 1 b) (a 0 1 b) = (a^{2} 0 a + b b^{2})

Egalând elementele: $a^{2} = 4$ , $a + b = 3$ , $b^{2} = 1$ . Din $a \in {- 2, 2}$ și $b \in {- 1, 1}$ , singura pereche cu suma 3 este $a = 2$ , $b = 1$ .

Exemplul 3. AB = O cu A și B nenule

Pentru $A = (1111)$ și $B = (1 - 1 - 1 1)$ :

A B = (1 - 1 1 - 1 - 1 + 1 - 1 + 1) = O_{2}

deși $A \neq = O_{2}$ și $B \neq = O_{2}$ . Concluzie: la matrice nu ai voie să „împarți” la o matrice decât dacă ea este inversabilă.

Exemplul 4. BAC 2020, sesiunea august, varianta 3, II.1.b

Se consideră $A (x) = 100 0 x 0 1 + ln x 01$ , $x \in (0, + \infty)$ . Demonstrați că $A (x) A (y) = A (y) A (x)$ , pentru orice $x, y \in (0, + \infty)$ .

A (x) A (y) = 100 0 x y 0 1 + ln y + 1 + ln x 01 = 100 0 x y 0 2 + ln (x y) 01

A (y) A (x) = 100 0 y x 0 2 + ln (y x) 01 = A (x) A (y), pentru orice x, y \in (0, + \infty)

Barem: 2p pentru primul produs calculat, 3p pentru al doilea și concluzie. La a) aceeași problemă cerea $det (A (1)) = 1$ (vezi lecția despre determinanți).

Exemplul 5. BAC 2024, august, varianta 3, II.1.b–c

Se consideră $A = 000010001$ și $B (x) = 2^{x} 00 01 x 0 x 1$ , $x \in R$ .

b) Arătați că $B (x) B (y) - B (x + y) = x y A$ , pentru orice $x, y$ reali.

B (x) B (y) - B (x + y) = 2^{x + y} 00 0 1 + x y x + y 0 x + y 1 + x y - 2^{x + y} 00 01 x + y 0 x + y 1 = 000 0 x y 0 00 x y = x y A

(barem: 3p produsul și diferența, 2p identificarea cu $x y A$ ).

c) Determinați $x$ real pentru care $B (x) B (x + 1) - B (2 x) B (1) = x A$ .

Din b): $B (x) B (x + 1) = B (2 x + 1) + (x^{2} + x) A$ și $B (2 x) B (1) = B (2 x + 1) + 2 x A$ , deci diferența este $(x^{2} - x) A$ (3p). Din $(x^{2} - x) A = x A$ și $A \neq = O_{3}$ : $x^{2} - 2 x = 0$ , adică x = 0 sau x = 2 (2p).

Exemplul 6. BAC 2026, sesiunea specială, varianta 2, II.1.b–c

$A (a) = 1 - 2 a 2 a 0 a 1 - a 0 00 1 - 3 a$ , $a \in R$ .

b) Elementul (1, 1) al produsului $A (a) A (b)$ este $(1 - 2 a) (1 - 2 b) + 2 ab = 1 - 2 (a + b - 3 ab)$ , elementul (1, 2) este $(1 - 2 a) b + a (1 - b) = a + b - 3 ab$ ; analog celelalte. Rezultă $A (a) A (b) = A (a + b - 3 ab)$ , pentru orice $a, b$ reali (3p + 2p).

c) Determinați $a$ real pentru care $A (1) A (a) + A (5) = 2 A (4)$ .

Din b), $A (1) A (a) = A (1 + a - 3 a) = A (1 - 2 a)$ . Fiecare element al lui $A (a)$ este de gradul I în $a$ , deci $2 A (4) - A (5) = A (3)$ (2p). Ecuația devine $A (1 - 2 a) = A (3)$ ; egalând elementele de pe poziția (1, 2), $1 - 2 a = 3$ , deci a = −1 (3p).

Toate produsele de mai sus au fost recalculate exact, iar Exemplele 4–6 au fost verificate pentru mai multe valori ale parametrilor.

Când există produsul AB?

Ce se cere la BAC

2 mincum apare la examen

Problema 1 de la Subiectul al II-lea are trei cerințe de câte 5 puncte. Operațiile cu matrice apar în toate trei:

a) un calcul direct: o sumă, un produs, un determinant al unei matrice particulare ( $A (0)$ , $A (1)$ ). Baremul dă de obicei 2–3p pentru scrierea matricei sau a calculului și restul pentru rezultat.
b) o relație valabilă „pentru orice x”: $A (x) A (y) = A (y) A (x)$ (2020 august, varianta 3, II.1.b; barem: ambele produse egale cu matricea cu $2 + ln (x y)$ în colțul din dreapta sus), $A (z_{1}) A (z_{2}) = A (z_{1} z_{2})$ (model 2022, II.1.b), $B (x) B (y) - B (x + y) = x y A$ (2024 august, II.1.b), $A (a) A (b) = A (a + b - 3 ab)$ (2026 specială, II.1.b).
c) o ecuație în care necunoscuta e un număr ascuns în matrice (vezi lecțiile despre puteri și despre ecuații matriceale).

Greșeli care costă puncte

1 mincapcanele de evitat

Produs pe poziții: înmulțirea element cu element în loc de „linie ori coloană”.
Un singur produs la cerința „AB = BA”: trebuie calculate amândouă.
Formula de la numere $(A + B)^{2} = A^{2} + 2 A B + B^{2}$ folosită fără să știi că $A B = B A$ .
„Simplificarea” cu o matrice: din $A B = A C$ sau $A B = O$ nu tragi concluzii fără inversabilitate.
Tipuri incompatibile: înainte de a înmulți, verifică (m, n)·(n, p).

Termeni-cheie

Matrice de tip (m, n): Tablou cu m linii și n coloane de numere; elementul de pe linia i și coloana j se notează a_ij.
Matrice pătratică de ordin n: Matrice cu n linii și n coloane; mulțimea lor se notează Mn(C), Mn(R) etc.
Diagonala principală: Elementele a11, a22, ..., ann ale unei matrice pătratice.
Matricea unitate In: Matricea pătratică cu 1 pe diagonala principală și 0 în rest; A·In = In·A = A.
Matricea nulă On: Matricea cu toate elementele 0; element neutru la adunare.
Egalitatea a două matrice: Două matrice sunt egale dacă au același tip și elementele de pe aceleași poziții sunt egale.
Produsul AB: Definit când numărul de coloane ale lui A este egal cu numărul de linii ale lui B; c_ij = linia i din A înmulțită cu coloana j din B.
Necomutativitatea înmulțirii: În general AB ≠ BA; egalitatea AB = BA trebuie demonstrată prin calcul.
Transpusa ᵗA: Matricea obținută din A schimbând liniile în coloane; ᵗ(AB) = ᵗB · ᵗA.
Urma unei matrice: Suma elementelor de pe diagonala principală: tr(A) = a11 + a22 + ... + ann.

Notițele mele

Salvat local

Pe scurt

Matrice, tipuri, egalitate

Adunarea și înmulțirea cu un scalar

Înmulțirea a două matrice

Transpusa unei matrice

Exemple rezolvate

Ce se cere la BAC

Greșeli care costă puncte

Termeni-cheie

Notițele mele

Surse