Subgrupuri, grup finit, ordinul unui element

Criteriul de subgrup, subgrupurile lui ℤₙ și ale grupurilor numerice, tabla unui grup finit, ordinul unui element și calculul lui în ℤₙ, în grupuri de matrice și de permutări.

24 min
La BAC: Subiectul al II-lea (2)
De revizuit

Ilustrație generată pentru ZECE (artistică, nu o planșă științifică: pentru detalii exacte vezi schemele din lecție).

ții minte doar fișa asta și ești acoperit

Fișa de aur

01
H subgrup al lui G: H nevidă, x ∗ y ∈ H și x′ ∈ H pentru orice x, y ∈ H. Neutrul e ∈ H rezultă singur.
02
Ordinul lui x: cel mai mic n ≥ 1 cu xⁿ = e. În scriere aditivă: n·x = 0.
03
În (ℤₙ, +): ordinul lui â este n / (a, n). Exemplu: în ℤ₆, 2̂ are ordinul 3, 3̂ are ordinul 2.
Truc: Câți pași de mărime a faci pe un ceas cu n ore până revii la 0.
04
Într-un grup finit, ordinul oricărui element divide |G| (Lagrange), deci x la puterea |G| = e.
05
Pe tabla unui grup finit, fiecare element apare o singură dată pe fiecare linie și coloană.

1 din 7

Pe scurt

2 minesențialul, de recitit oricând

Culorile din lecție:termenidee-cheie

Subgrup: $H \subseteq G$ , nevidă, cu $x * y \in H$ și $x^{'} \in H$ pentru orice $x, y \in H$ .
Grup finit: $G$ are un număr finit de elemente; $∣ G ∣$ este ordinul grupului.
Ordinul lui $x$ : cel mai mic $n \geq 1$ cu $x^{n} = e$ (aditiv: $n x = 0$ ).
În $(Z_{n}, +)$ : $ord (\overset{a}{^}) = \frac{n}{( a , n )}$ .
Lagrange (proprietate): ordinul unui element sau al unui subgrup divide $∣ G ∣$ .

Subgrup

4 min o întrebare la final

Definiție. Fie $(G, *)$ un grup. O submulțime nevidă $H \subseteq G$ este subgrup al lui $G$ dacă $H$ este parte stabilă și $(H, *)$ , cu legea indusă, este grup.

Criteriu. $H \neq = \emptyset$ este subgrup al lui $G$ dacă și numai dacă:

$x * y \in H$ , pentru orice $x, y \in H$ ;
$x^{'} \in H$ , pentru orice $x \in H$ .

Atunci $e = x * x^{'} \in H$ , iar asociativitatea se moștenește din $G$ .

GrupSubgrupuri des întâlnite

(Z, +)

n Z = {nk ∣ k \in Z}

n \in N

(R^{*}, \cdot)

{- 1, 1}

(0, + \infty)

Q^{*}

(C^{*}, \cdot)

{1, - 1, i, - i}

{z ∣ ∣ z ∣ = 1}

(Z_{6}, +)

{\hat{0}}

{\hat{0}, \hat{3}}

{\hat{0}, \hat{2}, \hat{4}}

Z_{6}

(Z_{4}, +)

{\hat{0}}

{\hat{0}, \hat{2}}

Z_{4}

Grup	Subgrupuri des întâlnite
$(Z, +)$	$n Z = {nk ∣ k \in Z}$ , $n \in N$
$(R^{*}, \cdot)$	${- 1, 1}$ , $(0, + \infty)$ , $Q^{*}$
$(C^{*}, \cdot)$	${1, - 1, i, - i}$ , ${z ∣ ∣ z ∣ = 1}$
$(Z_{6}, +)$	${\hat{0}}$ , ${\hat{0}, \hat{3}}$ , ${\hat{0}, \hat{2}, \hat{4}}$ , $Z_{6}$
$(Z_{4}, +)$	${\hat{0}}$ , ${\hat{0}, \hat{2}}$ , $Z_{4}$

Este {0̂, 2̂} subgrup al lui (ℤ₄, +)?

Grup finit și tabla lui

1 min

Pentru un grup finit, legea se poate da prin tablă. Din regula de simplificare ( $x * y = x * z \Rightarrow y = z$ ) rezultă că pe fiecare linie și pe fiecare coloană fiecare element apare exact o dată. Linia neutrului repetă capul de tabel, iar simetricul lui $x$ este elementul din coloana în care, pe linia lui $x$ , apare $e$ .

Ordinul unui element

5 min 2 întrebări la final

Definiție. Fie $(G, \cdot)$ un grup cu neutrul $e$ și $x \in G$ . Dacă există $n \in N^{*}$ cu $x^{n} = e$ , cel mai mic astfel de $n$ este ordinul lui $x$ , notat $ord (x)$ . Altfel, $x$ are ordin infinit.

Proprietăți.

$ord (x) = 1 ⟺ x = e$ ;
dacă $ord (x) = k$ , atunci $x^{m} = e ⟺ k ∣ m$ ;
în $(Z_{n}, +)$ , $ord (\overset{a}{^}) = \frac{n}{( a , n )}$ ; elementele de ordin $n$ sunt clasele $\overset{a}{^}$ cu $(a, n) = 1$ ;
Lagrange (folosită ca proprietate): dacă $G$ este finit, ordinul oricărui subgrup și ordinul oricărui element divid $∣ G ∣$ ; în particular $x^{n} = e$ pentru $n = ∣ G ∣$ .

- 1

Grup

(R^{*}, \cdot)

Puteri

(- 1)^{2} = 1

Ordin

i

Grup

(C^{*}, \cdot)

Puteri

i^{2} = - 1

i^{3} = - i

i^{4} = 1

Ordin

\hat{2}

Grup

(Z_{6}, +)

Puteri

\hat{2}, \hat{4}, \hat{0}

Ordin

\hat{3}

Grup

(Z_{6}, +)

Puteri

\hat{3}, \hat{0}

Ordin

2

Grup

(R^{*}, \cdot)

Puteri

2^{n} \neq = 1

pentru

n \geq 1

Ordin

infinit

1 / 5

Element	Grup	Puteri	Ordin
$- 1$	$(R^{*}, \cdot)$	$(- 1)^{2} = 1$	2
$i$	$(C^{*}, \cdot)$	$i^{2} = - 1$ , $i^{3} = - i$ , $i^{4} = 1$	4
$\hat{2}$	$(Z_{6}, +)$	$\hat{2}, \hat{4}, \hat{0}$	3
$\hat{3}$	$(Z_{6}, +)$	$\hat{3}, \hat{0}$	2
$2$	$(R^{*}, \cdot)$	$2^{n} \neq = 1$ pentru $n \geq 1$	infinit

Ce ordin are 4̂ în (ℤ₆, +)?

Ce ordine pot avea elementele unui grup cu 6 elemente?

Exemple rezolvate

8 min

Exercițiu de tip BAC: subgrup al lui ℤ₆

Arătați că $H = {\hat{0}, \hat{2}, \hat{4}}$ este subgrup al grupului $(Z_{6}, +)$ .

\hat{0}

\hat{2}

\hat{4}

\hat{0}

\hat{0}

\hat{2}

\hat{4}

\hat{2}

\hat{2}

\hat{4}

\hat{0}

\hat{4}

\hat{4}

\hat{0}

\hat{2}

$+$	$\hat{0}$	$\hat{2}$	$\hat{4}$
$\hat{0}$	$\hat{0}$	$\hat{2}$	$\hat{4}$
$\hat{2}$	$\hat{2}$	$\hat{4}$	$\hat{0}$
$\hat{4}$	$\hat{4}$	$\hat{0}$	$\hat{2}$

Toate rezultatele sunt în $H$ , deci $H$ este parte stabilă. Opușii: $- \hat{0} = \hat{0}$ , $- \hat{2} = \hat{4}$ , $- \hat{4} = \hat{2}$ , toți în $H$ . Deci $H$ este subgrup al lui $(Z_{6}, +)$ .

Exercițiu de tip BAC: ordinele elementelor lui ℤ₆

Cu formula $ord (\overset{a}{^}) = \frac{6}{( a , 6 )}$ :

$ord (\hat{0}) = 1$ , $ord (\hat{1}) = 6$ , $ord (\hat{2}) = 3$ , $ord (\hat{3}) = 2$ , $ord (\hat{4}) = 3$ , $ord (\hat{5}) = 6$ .

Toate ordinele divid $∣ Z_{6} ∣ = 6$ , cum spune proprietatea lui Lagrange.

Din 2 în 2, trei pași până la 0

Adunând mereu clasa lui 2 (clasele apar fără căciuliță), revii la 0 după 3 pași, deci ordinul ei este 3. Cele trei clase atinse, 0, 2 și 4, formează subgrupul din exemplu.

Exercițiu de tip BAC: ordinul unei matrice

$A = (01 - 1 0)$ în grupul matricelor inversabile de ordin 2 cu înmulțirea.

A^{2} = (01 - 1 0) (01 - 1 0) = (- 1 0 0 - 1) = - I_{2}, A^{4} = (A^{2})^{2} = I_{2} .

$A \neq = I_{2}$ , $A^{2} \neq = I_{2}$ , $A^{3} = - A \neq = I_{2}$ , $A^{4} = I_{2}$ : ordinul lui $A$ este 4, iar ${I_{2}, A, A^{2}, A^{3}}$ este un subgrup cu 4 elemente.

Pornind de la BAC august 2020, varianta 3, II.2

Pentru $a = 20$ : $x * y = x y - 4 (x + y) + 20 = (x - 4) (y - 4) + 4$ , cu $e = 5$ (barem oficial, b). Punctul c) cere ca $H = [4, + \infty)$ să fie parte stabilă: $x * y = (x - 4) (y - 4) + 4 \geq 4$ (barem oficial).

Completare: $H$ nu este grup cu legea indusă, deoarece $4 * x^{'} = 4 \neq = 5$ pentru orice $x^{'}$ , deci 4 nu are simetric. Mulțimea $(4, + \infty)$ este însă grup: pentru $x > 4$ , simetricul $x^{'} = 4 + \frac{1}{x - 4} > 4$ .

Ce se cere la BAC

3 mincum apare la examen

Subgrupurile și ordinul apar mai rar decât legile pe $R$ , dar intră în programă și pot fi cerute la punctele b) sau c): „Arătați că $H$ este subgrup al grupului…”, „Determinați ordinul elementului…”. În subiectele M_mate-info 2020–2026 consultate (sesiuni, rezerve, simulări, modele) nu a apărut niciun item cu subgrup sau ordinul unui element; exemplele de aici sunt de tip BAC.
Teorema lui Lagrange nu este numită explicit în programă; o folosești ca proprietate („ordinul unui element al unui grup finit divide ordinul grupului”), fără demonstrație.
Prima condiție a criteriului de subgrup este exact „parte stabilă”, cerință frecventă (august 2020, v3, II.2.c: $H = [4, + \infty)$ , cu răspunsul de barem $x * y = (x - 4) (y - 4) + a - 16 \geq 4$ ).

Greșeli care costă puncte

1 mincapcanele de evitat

Doar stabilitatea, fără condiția $x^{'} \in H$ .
Ordinul dedus dintr-o singură putere egală cu $e$ , fără a verifica puterile mai mici.
Scriere multiplicativă în $Z_{n}$ : în $(Z_{n}, +)$ „puterea” lui $\overset{a}{^}$ este $k \overset{a}{^}$ , nu $\overset{a}{^}^{k}$ .
Lagrange folosit invers: dacă $d$ divide $∣ G ∣$ , nu e obligatoriu să existe un element de ordin $d$ în orice grup.

Termeni-cheie

Subgrup: H ⊆ G nevidă care, cu legea indusă, este grup. Criteriu: x ∗ y ∈ H și x′ ∈ H pentru orice x, y ∈ H.
Grup finit: Grup cu un număr finit de elemente; numărul lor, notat |G| sau ord G, este ordinul grupului.
Ordinul unui element: Cel mai mic număr natural n ≥ 1 cu xⁿ = e (în scriere aditivă: n·x = 0). Dacă nu există, x are ordin infinit.
Ordinul în ℤₙ: Ordinul lui â în (ℤₙ, +) este n / (a, n), unde (a, n) este cel mai mare divizor comun.
Proprietatea ordinului: Dacă x are ordinul k, atunci xᵐ = e dacă și numai dacă k divide m.
Teorema lui Lagrange (proprietate): Într-un grup finit, ordinul oricărui subgrup și ordinul oricărui element divid ordinul grupului; deci x la puterea |G| este e.
Tabla unui grup finit: Pe fiecare linie și pe fiecare coloană fiecare element apare exact o dată (consecință a simplificării).

Notițele mele

Salvat local

Surse

Programa de examen Matematică M_mate-info, Bacalaureat 2015 (Anexa 2 la OMEN 4430/2014), clasa a XII-a, Grupuri
BAC 2020, sesiunea august, varianta 3, Subiectul al II-lea, 2 (subiect și barem)