Grupuri: definiție, exemple, reguli de calcul

Axiomele grupului, grupurile din programă (numerice, de matrice, de permutări, ℤₙ), cum demonstrezi că o mulțime cu o lege este grup și regulile de calcul într-un grup.

26 min
La BAC: Subiectul al II-lea (2)
Verificat pe bareme

Ilustrație generată pentru ZECE (artistică, nu o planșă științifică: pentru detalii exacte vezi schemele din lecție).

ții minte doar fișa asta și ești acoperit

Fișa de aur

01
Grup = lege internă + asociativă + element neutru + orice element simetrizabil. Dacă e și comutativă: grup abelian.
Truc: „A-N-S”: Asociativitate, Neutru, Simetrice (plus legea să fie internă).
02
Ca să arăți că (G, ∗) e grup, verifici în ordine: parte stabilă, asociativitate, e ∈ G, x′ ∈ G pentru orice x.
03
(ℕ, +) nu e grup (1 nu are opus în ℕ); (ℤ, ·) nu e grup (2 nu are invers în ℤ); (ℝ, ·) nu e grup (0 nu are invers).
04
(ℤₙ, +) e grup abelian; (Sₙ, ∘) e grup, necomutativ pentru n ≥ 3; matricele inversabile formează grup cu înmulțirea.
05
Într-un grup se poate simplifica: x ∗ y = x ∗ z implică y = z; ecuația a ∗ x = b are soluția unică x = a′ ∗ b.

1 din 7

Pe scurt

2 minesențialul, de recitit oricând

Culorile din lecție:termencifră, datăidee-cheie

Grup: $(G, *)$ cu $*$ lege internă, asociativă, cu element neutru și cu toate elementele simetrizabile.
Grup abelian: în plus, legea este comutativă.
Exemple din programă: grupuri numerice, grupuri de matrice, grupuri de permutări, $(Z_{n}, +)$ .
Pentru a arăta că $(G, *)$ este grup: $G$ parte stabilă, asociativitate, $e \in G$ , $x^{'} \in G$ pentru orice $x \in G$ .
Reguli: simetricul e unic, $(x * y)^{'} = y^{'} * x^{'}$ , se poate simplifica.

Definiția grupului

2 min

Definiție. Fie $G$ o mulțime nevidă și $*$ o lege de compoziție internă pe $G$ . Perechea $(G, *)$ este grup dacă:

asociativitate: $(x * y) * z = x * (y * z)$ , pentru orice $x, y, z \in G$ ;
element neutru: există $e \in G$ cu $x * e = e * x = x$ , pentru orice $x \in G$ ;
elemente simetrizabile: pentru orice $x \in G$ există $x^{'} \in G$ cu $x * x^{'} = x^{'} * x = e$ .

Dacă, în plus, $x * y = y * x$ pentru orice $x, y \in G$ , grupul este abelian (comutativ).

Exemplele din programă

6 min 2 întrebări la final

(Z, +)

(Q, +)

(R, +)

(C, +)

Legea

adunarea

Neutru

0

Simetricul lui x

- x

Abelian

(Q^{*}, \cdot)

(R^{*}, \cdot)

(C^{*}, \cdot)

Legea

înmulțirea

Neutru

1

Simetricul lui x

\frac{1}{x}

Abelian

((0, + \infty), \cdot)

Legea

înmulțirea

Neutru

1

Simetricul lui x

\frac{1}{x}

Abelian

(Z_{n}, +)

Legea

adunarea claselor

Neutru

\hat{0}

Simetricul lui x

opusul

n - a

al lui

\overset{a}{^}

Abelian

(M_{n} (R), +)

Legea

adunarea matricelor

Neutru

O_{n}

Simetricul lui x

- A

Abelian

G L_{n} (R)

(matrice cu

det \neq = 0

)

Legea

înmulțirea

Neutru

I_{n}

Simetricul lui x

A^{- 1}

Abelian

nu, pentru

n \geq 2

(S_{n}, \circ)

Legea

compunerea permutărilor

Neutru

permutarea identică

Simetricul lui x

permutarea inversă

Abelian

nu, pentru

n \geq 3

1 / 7

Grup	Legea	Neutru	Simetricul lui $x$	Abelian
$(Z, +)$ , $(Q, +)$ , $(R, +)$ , $(C, +)$	adunarea	$0$	$- x$	da
$(Q^{}, \cdot)$ , $(R^{}, \cdot)$ , $(C^{*}, \cdot)$	înmulțirea	$1$	$\frac{1}{x}$	da
$((0, + \infty), \cdot)$	înmulțirea	$1$	$\frac{1}{x}$	da
$(Z_{n}, +)$	adunarea claselor	$\hat{0}$	opusul $n - a$ al lui $\overset{a}{^}$	da
$(M_{n} (R), +)$	adunarea matricelor	$O_{n}$	$- A$	da
$G L_{n} (R)$ (matrice cu $det \neq = 0$ )	înmulțirea	$I_{n}$	$A^{- 1}$	nu, pentru $n \geq 2$
$(S_{n}, \circ)$	compunerea permutărilor	permutarea identică	permutarea inversă	nu, pentru $n \geq 3$

Nu sunt grupuri: $(N, +)$ (1 nu are opus în $N$ ), $(Z, \cdot)$ (2 nu are invers în $Z$ ), $(R, \cdot)$ (0 nu are invers).

De ce (ℤ, ·) nu este grup?

Care e opusul lui 4̂ în (ℤ₆, +)?

Reguli de calcul într-un grup

3 min o întrebare la final

Fie $(G, *)$ grup cu neutrul $e$ . Pentru orice $x, y, z \in G$ :

simetricul este unic; $(x^{'})^{'} = x$ ;
$(x * y)^{'} = y^{'} * x^{'}$ (se verifică: $(x * y) * (y^{'} * x^{'}) = x * e * x^{'} = e$ );
simplificarea: $x * y = x * z \Rightarrow y = z$ și $y * x = z * x \Rightarrow y = z$ ;
ecuația $a * x = b$ are soluția unică $x = a^{'} * b$ ; ecuația $x * a = b$ are soluția unică $x = b * a^{'}$ ;
puterile: $x^{1} = x$ , $x^{n + 1} = x^{n} * x$ , $x^{0} = e$ , $x^{- n} = (x^{'})^{n}$ ; au loc $x^{m} * x^{n} = x^{m + n}$ .

Cât este (x ∗ y)′ într-un grup?

Exemple rezolvate

9 min

Exercițiu de tip BAC: grup pe un interval

Pe $G = (3, + \infty)$ : $x * y = x y - 3 x - 3 y + 12$ . Arătați că $(G, *)$ este grup abelian.

$x * y = (x - 3) (y - 3) + 3$ , pentru orice $x, y \in R$ .

Lege internă: pentru $x, y \in G$ , $(x - 3) (y - 3) > 0$ , deci $x * y > 3$ , $x * y \in G$ .

Asociativitate: $(x * y) * z = (x - 3) (y - 3) (z - 3) + 3 = x * (y * z)$ , pentru orice $x, y, z \in G$ .

Comutativitate: $x * y = (x - 3) (y - 3) + 3 = (y - 3) (x - 3) + 3 = y * x$ .

Element neutru: $x * e = x ⟺ (x - 3) (e - 3) = x - 3$ pentru orice $x \in G ⟺ e = 4$ , iar $4 \in G$ .

Simetrizabile: $x * x^{'} = 4 ⟺ (x - 3) (x^{'} - 3) = 1 ⟺ x^{'} = 3 + \frac{1}{x - 3}$ ; pentru $x > 3$ , $\frac{1}{x - 3} > 0$ , deci $x^{'} \in G$ .

Concluzie: $(G, *)$ este grup abelian.

Exercițiu de tip BAC: grup de matrice

$G = {A (a) = (10 a 1) a \in R}$ cu înmulțirea matricelor.

$A (a) A (b) = A (a + b) \in G$ , deci $G$ este parte stabilă a lui $M_{2} (R)$ .

Înmulțirea matricelor este asociativă; $I_{2} = A (0) \in G$ este element neutru.

$A (a) A (- a) = A (- a) A (a) = A (0) = I_{2}$ , deci orice $A (a)$ este simetrizabilă, cu simetrica $A (- a) \in G$ .

$A (a) A (b) = A (a + b) = A (b + a) = A (b) A (a)$ : grupul este abelian.

BAC 2022, model, II.2.b, completat: este (M, ∗) grup?

Pe $M = [1, + \infty)$ , legea asociativă $x * y = lo g_{2} ((2^{x} - 2) (2^{y} - 2) + 2)$ are elementul neutru $e = lo g_{2} 3$ (barem oficial, punctul b). Subiectul nu cere mai mult; completarea de mai jos arată de ce verificarea „ $x^{'} \in G$ pentru orice $x$ ” contează.

Simetricul lui $x$ (îl notăm $y$ ): $x * y = lo g_{2} 3 ⟺ (2^{x} - 2) (2^{y} - 2) + 2 = 3 ⟺ (2^{x} - 2) (2^{y} - 2) = 1$ .

Pentru $x = 1$ : $2^{1} - 2 = 0$ , deci $1 * y = lo g_{2} 2 = 1 \neq = lo g_{2} 3$ pentru orice $y$ . Elementul 1 nu are simetric (este element absorbant), deci $(M, *)$ nu este grup.
Pentru $x > 1$ : $2^{x} - 2 > 0$ și $2^{y} = 2 + \frac{1}{2 ^{x} - 2} > 2$ , deci $y > 1$ . Așadar pe $M^{'} = (1, + \infty)$ (parte stabilă, care conține $e$ ) legea indusă face din $(M^{'}, *)$ un grup abelian.

Tabla grupului (ℤ₄, +)

În $Z_{4}$ : neutrul este $\hat{0}$ ; opușii sunt $- \hat{0} = \hat{0}$ , $- \hat{1} = \hat{3}$ , $- \hat{2} = \hat{2}$ , $- \hat{3} = \hat{1}$ (pe fiecare linie a tablei apare $\hat{0}$ exact o dată). Tabla este simetrică, deci grupul este abelian.

Simetricul se citește din tablă

Clasele apar fără căciuliță. Pe fiecare linie, neutrul 0 apare o singură dată, în coloana simetricului: 1 cu 3, iar 2 este propriul său simetric.

Ce se cere la BAC

3 mincum apare la examen

Subiectul al II-lea, problema 2, folosește grupul fie direct („Demonstrați că $(G, *)$ este grup”), fie indirect: enunțul spune „legea este asociativă și are elementul neutru $e$ ”, iar punctele cer simetrice sau ecuații (model 2020, model 2022).
La model 2022, II.2.b, cerința „Determinați elementul neutru” are răspunsul de barem $e = lo g_{2} 3$ , obținut din $(2^{x} - 2) (2^{e} - 3) = 0$ pentru orice $x \in M = [1, + \infty)$ .
În subiectele M_mate-info 2023–2026 (sesiuni, rezerve, simulări, modele) problema II.2 nu a cerut nicio dată „Demonstrați că $(G, *)$ este grup”: a cerut proprietăți separate (neutru, simetric, asociativitate) sau a fost despre polinoame. Axiomele grupului rămân însă baza pentru morfisme și pentru cerințele cu simetrice (de exemplu specială 2025, v3: perechile $(m, n)$ pentru care $\frac{m}{25}$ este simetricul lui $n$ ).
Matricele care formează o mulțime stabilă la înmulțire apar și la problema 1 a Subiectului al II-lea (august 2020, v3: $A (x)$ de ordin 3, cu cerința $A (x) A (y) = A (y) A (x)$ ).

Greșeli care costă puncte

1 mincapcanele de evitat

Uiți că legea trebuie să fie internă (parte stabilă) înainte de axiome.
Neutrul sau simetricul nu e verificat în $G$ .
Comutativitatea cerută ca axiomă de grup: nu este; ea face grupul abelian.
Permutări compuse în ordinea greșită: $σ \circ τ$ înseamnă întâi $τ$ , apoi $σ$ .
$(x * y)^{'} = x^{'} * y^{'}$ scris într-un grup necomutativ: corect este $y^{'} * x^{'}$ .

Termeni-cheie

Grup: Mulțime G cu o lege de compoziție internă ∗ care este asociativă, are element neutru și pentru care orice element este simetrizabil.
Grup abelian (comutativ): Grup în care legea este și comutativă: x ∗ y = y ∗ x pentru orice x, y ∈ G.
Grupuri numerice: (ℤ, +), (ℚ, +), (ℝ, +), (ℂ, +); (ℚ*, ·), (ℝ*, ·), (ℂ*, ·), ((0, +∞), ·). (ℕ, +) și (ℤ, ·) NU sunt grupuri.
Grupul (ℤₙ, +): Clasele de resturi modulo n cu adunarea claselor: neutru 0̂, opusul lui â este (n − a)^, grup abelian cu n elemente.
Grupul de permutări (Sₙ, ∘): Permutările mulțimii {1, …, n} cu compunerea; neutru e permutarea identică, are n! elemente, pentru n ≥ 3 nu este comutativ.
Grupul GLₙ(ℝ): Matricele pătratice inversabile de ordin n (det ≠ 0) cu înmulțirea matricelor; neutru Iₙ.
Simplificare în grup: x ∗ y = x ∗ z implică y = z (și la dreapta); se compune cu x′, simetricul lui x.
Simetricul unui compus: (x ∗ y)′ = y′ ∗ x′ și (x′)′ = x.

Notițele mele

Salvat local

Surse

Programa de examen Matematică M_mate-info, Bacalaureat 2015 (Anexa 2 la OMEN 4430/2014), clasa a XII-a, Grupuri
BAC 2022, model, Subiectul al II-lea, 2 (subiect și barem)