Produsul scalar și rezolvarea triunghiului

Produsul scalar (definiție, coordonate, perpendicularitate, unghi), teorema cosinusului, teorema sinusurilor, rezolvarea triunghiului dreptunghic și oarecare, arii, razele cercurilor înscris și circumscris, mediane și înălțimi, cu itemii oficiali de tip I.6.

26 min
La BAC: I.6 · I.5
Verificat pe bareme

Ilustrație generată pentru ZECE (artistică, nu o planșă științifică: pentru detalii exacte vezi schemele din lecție).

ții minte doar fișa asta și ești acoperit

Fișa de aur

01
u·v = x₁x₂ + y₁y₂; perpendiculari ⇔ u·v = 0; cos θ = u·v/(|u||v|).
02
Teorema sinusurilor: a/sin A = 2R. Ai o latură și unghiul opus? Ai raza cercului circumscris.
Truc: Latura „se uită” la unghiul opus: a cu A, b cu B, c cu C.
03
Teorema cosinusului: a² = b² + c² − 2bc cos A. Ai trei laturi? Afli orice unghi.
04
Aria: S = bc sin A/2; R = abc/(4S), r = S/p.
05
În triunghiul dreptunghic: sin = cateta opusă/ipotenuză, cos = cateta alăturată/ipotenuză, tg = opusă/alăturată.

1 din 6

Pe scurt

3 minesențialul, de recitit oricând

Culorile din lecție:termencifră, datăidee-cheie

Produsul scalar: $u \cdot v = ∣ u ∣ ∣ v ∣ cos θ = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$ ; $u ⊥ v ⟺ u \cdot v = 0$ .
Teorema cosinusului: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$ .
Teorema sinusurilor: $\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R$ .
Arii: $S = \frac{b c s i n A}{2}$ , Heron, $S = \frac{ab c}{4 R}$ , $S = p r$ .
Triunghiul dreptunghic: rapoartele trigonometrice și teorema lui Pitagora.
La BAC, I.6 cere des o latură, un unghi, o rază sau o arie dintr-un triunghi.

Produsul scalar

4 min

Pentru vectorii nenuli $u$ , $v$ cu unghiul $θ \in [0, π]$ între ei, $u \cdot v = ∣ u ∣ ∣ v ∣ cos θ$ (iar dacă unul este nul, produsul este 0). Proprietăți: $u \cdot v = v \cdot u$ ; $u \cdot (v + w) = u \cdot v + u \cdot w$ ; $(α u) \cdot v = α (u \cdot v)$ ; $u \cdot u = ∣ u ∣^{2}$ .

În coordonate, cu $i \cdot i = j \cdot j = 1$ și $i \cdot j = 0$ :

u \cdot v = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}, cos θ = \frac{x _{1} x _{2} + y _{1} y _{2}}{x _{1}^{2} + y _{1}^{2} x _{2}^{2} + y _{2}^{2}} .

Teorema cosinusului din produsul scalar: $B C = A C - A B$ , deci $B C^{2} = A C^{2} + A B^{2} - 2 A B \cdot A C = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$ .

Rezolvarea triunghiului

7 min

Triunghiul dreptunghic (unghiul drept în $A$ ): $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ ; $sin B = \frac{A C}{B C}$ , $cos B = \frac{A B}{B C}$ , $tg B = \frac{A C}{A B}$ ; înălțimea din $A$ : $h = \frac{A B \cdot A C}{B C}$ ; $B + C = \frac{π}{2}$ , deci $sin B = cos C$ .

Triunghiul oarecare:

Ce cunoștiCe folosești

două unghiuri și o latură

A + B + C = π

, apoi teorema sinusurilor

două laturi și unghiul dintre ele

teorema cosinusului pentru a treia latură; aria

\frac{b c s i n A}{2}

trei laturi

teorema cosinusului pentru unghiuri; Heron pentru arie

o latură și unghiul opus

2 R = \frac{a}{s i n A}

Ce cunoști	Ce folosești
două unghiuri și o latură	$A + B + C = π$ , apoi teorema sinusurilor
două laturi și unghiul dintre ele	teorema cosinusului pentru a treia latură; aria $\frac{b c s i n A}{2}$
trei laturi	teorema cosinusului pentru unghiuri; Heron pentru arie
o latură și unghiul opus	$2 R = \frac{a}{s i n A}$

Segmente și raze:

R = \frac{a}{2 sin A} = \frac{ab c}{4 S}, r = \frac{S}{p}, m_{a}^{2} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{4}, h_{a} = \frac{2 S}{a} .

Bisectoarea din $A$ împarte latura opusă în segmente proporționale cu laturile alăturate: $\frac{B D}{D C} = \frac{A B}{A C}$ .

Exemplu complet: triunghiul cu laturile 3, 5, 7. Unghiul cel mai mare se opune laturii 7: $cos A = \frac{3 ^{2} + 5 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 3 \cdot 5} = - \frac{1}{2}$ , deci $A = 12 0^{\circ}$ . Aria: $S = \frac{3 \cdot 5 \cdot s i n 12 0 ^{\circ}}{2} = \frac{15 3}{4}$ (Heron dă același rezultat: $p = 7, 5$ ). $R = \frac{ab c}{4 S} = \frac{105}{15 3} = \frac{7 3}{3}$ , $r = \frac{S}{p} = \frac{3}{2}$ . Mediana dusă pe latura 7: $m^{2} = \frac{2 \cdot 25 + 2 \cdot 9 - 49}{4} = \frac{19}{4}$ , $m = \frac{19}{2}$ .

Triunghiul cu laturile 3, 5, 7

Latura 7 e cea mai mare, deci unghiul opus ei, A, e cel mai mare. Din teorema cosinusului, cos A = −1/2, deci A = 120°, unghi obtuz.

Itemi oficiali rezolvați

6 min 3 întrebări la final

Oficial: BAC 2020, model, I.6

Enunț: Se consideră triunghiul $A B C$ cu $A B = 23$ , $A = \frac{π}{4}$ și $B = \frac{5 π}{12}$ . Determinați raza cercului circumscris triunghiului $A B C$ .

$C = π - (A + B) = \frac{π}{3} \Rightarrow sin C = \frac{3}{2}$

$\frac{A B}{sin C} = 2 R \Rightarrow R = 2$

Oficial: BAC 2022, model, I.6

Enunț: Calculați lungimea laturii $A B$ a triunghiului $A B C$ , în care $A C = 3$ și măsurile unghiurilor $A$ și $B$ sunt de $3 0^{\circ}$ , respectiv $6 0^{\circ}$ .

Unghiul $C$ are măsura egală cu $9 0^{\circ}$ , deci triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $C$

$sin B = \frac{3}{2}$ și, cum $sin B = \frac{A C}{A B}$ și $A C = 3$ , obținem $A B = 23$

Oficial: BAC 2020, sesiunea iunie, varianta 6, I.6

Enunț: Triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $A$ și $sin B = cos B$ . Arătați că triunghiul $A B C$ este isoscel.

$sin B = \frac{A C}{B C}$

$cos B = \frac{A B}{B C} \Rightarrow A B = A C$ , deci triunghiul $A B C$ este isoscel

Oficial: BAC 2021, model, M_șt-nat, I.6

Enunț: În triunghiul $A B C$ dreptunghic în $A$ , $B C = 12$ și $B = \frac{π}{6}$ . Arătați că aria triunghiului $A B C$ este egală cu $183$ .

$cos B = \frac{A B}{B C} \Rightarrow \frac{3}{2} = \frac{A B}{12} \Rightarrow A B = 63$

$A_{A B C} = \frac{A B \cdot B C \cdot sin B}{2} = \frac{6 3 \cdot 12 \cdot \frac{1}{2}}{2} = 183$

Produs scalar în coordonate

$u = (2, - 1)$ , $v = (1, 3)$ : $u \cdot v = 2 - 3 = - 1$ , $cos θ = \frac{- 1}{5 10} = - \frac{2}{10}$ (unghi obtuz).

$u = (m, 2)$ , $v = (3, - 6)$ : $u ⊥ v ⟺ 3 m - 12 = 0 ⟺ m = 4$ .

Când produsul scalar devine 0

m = 2

u · v = 3m − 12. Mută cursorul: la m = 4 produsul scalar e 0 și linia punctată, direcția lui u, stă perpendicular pe v.

Pentru ce m sunt u = (m, 2) și v = (3, −6) perpendiculari?

AB = 2√3, A = π/4, B = 5π/12. Cât este raza cercului circumscris?

În ABC, AC = 3, A = 30°, B = 60°. Cât este AB?

Ce se cere la BAC

4 mincum apare la examen

Raza cercului circumscris din unghiuri și o latură: model 2020, I.6 ( $R = 2$ ).
O latură dintr-un triunghi cu unghiuri date: model 2022, I.6 ( $A B = 23$ ); M_șt-nat august 2020, I.6: triunghi dreptunghic cu $A B = 5$ , $cos B = \frac{1}{2}$ , ipotenuza $B C = 10$ .
Natura triunghiului din relații trigonometrice: iunie 2020, I.6 (isoscel).
Triunghiul dreptunghic (2025–2026): august 2025, varianta 9, I.6: dreptunghic în $A$ , $A B = 4$ , raza cercului circumscris 4; barem: $B C = 8$ , $A C = 43$ , aria $\frac{4 \cdot 4 3}{2} = 83$ . Specială 2026, varianta 2, I.6: dreptunghic în $A$ , $A C = 6$ , $tg C = \frac{1}{3}$ ; barem: $\frac{A B}{6} = \frac{1}{3}$ , $A B = 2$ , $B C = 210$ , iar $R = \frac{B C}{2} = 10$ .
Aria: M_șt-nat model 2021, I.6 ( $183$ ).
Produsul scalar poate apărea la I.5 (perpendicularitate, unghiul a doi vectori) și ca justificare a teoremei cosinusului.

Greșeli care costă puncte

1 mincapcanele de evitat

Latura împărțită la sinusul unghiului greșit în teorema sinusurilor.
Ipotenuza confundată cu o catetă când unghiul drept nu este în $A$ (la model 2022 unghiul drept este în $C$ ).
Semnul cosinusului pentru unghi obtuz.
Aria cu unghiul care nu este între cele două laturi.
Produsul scalar scris ca vector: rezultatul este un număr.

Termeni-cheie

Produsul scalar: u·v = |u|·|v|·cos θ, unde θ ∈ [0, π] este unghiul vectorilor (u, v nenuli); u·v = 0 dacă unul este nul.
Produsul scalar în coordonate: Pentru u = (x₁, y₁), v = (x₂, y₂): u·v = x₁x₂ + y₁y₂.
Condiția de perpendicularitate: Vectorii nenuli u și v sunt perpendiculari ⇔ u·v = 0.
Unghiul a doi vectori: cos θ = u·v / (|u|·|v|).
Teorema cosinusului: a² = b² + c² − 2bc·cos A (și analog pentru b², c²).
Teorema sinusurilor: a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R, R fiind raza cercului circumscris.
Aria triunghiului: S = (b·c·sin A)/2 = (a·hₐ)/2; formula lui Heron: S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)), p = (a + b + c)/2.
Raza cercului circumscris: R = a/(2 sin A) = abc/(4S).
Raza cercului înscris: r = S/p, p fiind semiperimetrul.
Lungimea medianei: mₐ² = (2b² + 2c² − a²)/4.
Rapoarte în triunghiul dreptunghic: Cu unghiul drept în A: sin B = AC/BC, cos B = AB/BC, tg B = AC/AB; BC² = AB² + AC².

Notițele mele

Salvat local