Primitive: definiție, integrala nedefinită, proprietăți

Ce este o primitivă, de ce două primitive diferă printr-o constantă, existența primitivelor pentru funcțiile continue, funcții fără primitive și cum folosești F′ = f pentru monotonia, convexitatea și asimptotele primitivei.

24 min
La BAC: Subiectul al III-lea (2)
Verificat pe bareme

Ilustrație generată pentru ZECE (artistică, nu o planșă științifică: pentru detalii exacte vezi schemele din lecție).

ții minte doar fișa asta și ești acoperit

Fișa de aur

01
F primitivă a lui f pe intervalul I: F derivabilă și F′ = f pe I.
02
Două primitive pe un interval diferă printr-o constantă: ∫ f(x) dx = F(x) + C.
Truc: Derivata „uită” constanta, deci integrarea o pune înapoi.
03
Orice funcție continuă pe un interval admite primitive. O funcție cu salt nu admite (nu are proprietatea lui Darboux).
04
Pentru proprietăți ale lui F nu-l calculezi: F′ = f dă monotonia, F″ = f′ dă convexitatea.
05
„Arătați că F este o primitivă a lui f” = derivezi F și obții f, pe tot intervalul.

1 din 6

Pe scurt

2 minesențialul, de recitit oricând

Culorile din lecție:termenidee-cheie

$F : I \to R$ este primitivă a lui $f : I \to R$ ( $I$ interval) dacă $F$ este derivabilă și $F^{'} = f$ pe $I$ .
Pe un interval, două primitive diferă printr-o constantă: $\int f (x) d x = F (x) + C$ .
Liniaritate: $\int (α f + β g) = α \int f + β \int g$ .
Orice funcție continuă pe un interval admite primitive; o funcție cu discontinuitate de speța întâi nu admite.
Proprietățile lui $F$ se citesc din $F^{'} = f$ și $F^{''} = f^{'}$ , fără a calcula $F$ .

Definiții

3 min

Definiție. Fie $I \subseteq R$ un interval și $f : I \to R$ . O funcție $F : I \to R$ este primitivă a lui $f$ pe $I$ dacă:

$F$ este derivabilă pe $I$ ;
$F^{'} (x) = f (x)$ , pentru orice $x \in I$ .

Spunem că $f$ admite primitive pe $I$ dacă are cel puțin o primitivă.

Teoremă. Dacă $F$ și $G$ sunt primitive ale lui $f$ pe intervalul $I$ , atunci există $c \in R$ cu $G (x) = F (x) + c$ pentru orice $x \in I$ .

Demonstrație: $(G - F)^{'} = f - f = 0$ pe intervalul $I$ , deci $G - F$ este constantă (consecință a teoremei lui Lagrange).

Integrala nedefinită a lui $f$ este mulțimea tuturor primitivelor ei:

\int f (x) d x = F (x) + C, C = mul ț imea func ț iilor constante pe I .

Liniaritate. Dacă $f, g$ admit primitive pe $I$ și $α, β \in R$ , atunci $α f + β g$ admite primitive și $\int (α f + β g) (x) d x = α \int f (x) d x + β \int g (x) d x$ .

Ce funcții admit primitive

3 min

Teorema de existență: orice funcție continuă pe un interval admite primitive (o primitivă este $F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$ , vezi lecția despre funcția integrală).
Condiție necesară: o funcție care admite primitive pe un interval are proprietatea lui Darboux (derivatele au proprietatea lui Darboux).
Consecință: o funcție cu o discontinuitate de speța întâi (limite laterale finite, dar diferite, sau diferite de valoarea funcției) nu admite primitive.

Proprietăți ale primitivei citite din f

12 min 3 întrebări la final

Dacă $F$ este primitivă a lui $f$ , atunci $F^{'} = f$ și, când $f$ e derivabilă, $F^{''} = f^{'}$ . De aici:

Ce se cere despre FCe studiezi

monotonia lui

F

semnul lui

f

convexitatea / concavitatea lui

F

semnul lui

f^{'}

puncte de extrem ale lui

F

zerourile lui

f

în care

f

schimbă semnul

panta asimptotei oblice a lui

F

spre

+ \infty

lim F (x) / x

, calculată cu regula lui l'Hôpital:

lim f (x)

compararea

F (a)

F (b)

monotonia lui

F

pe un interval care conține

a

și

b

Ce se cere despre $F$	Ce studiezi
monotonia lui $F$	semnul lui $f$
convexitatea / concavitatea lui $F$	semnul lui $f^{'}$
puncte de extrem ale lui $F$	zerourile lui $f$ în care $f$ schimbă semnul
panta asimptotei oblice a lui $F$ spre $+ \infty$	$lim F (x) / x$ , calculată cu regula lui l'Hôpital: $lim f (x)$
compararea $F (a)$ cu $F (b)$	monotonia lui $F$ pe un interval care conține $a$ și $b$

BAC 2020, model, III.2.b

$f : R \to R$ , $f (x) = \frac{x ^{2} - 4}{x ^{2} + 4}$ . Demonstrați că orice primitivă a lui $f$ este concavă pe $(- \infty, 0]$ .

Fie $F$ o primitivă a lui $f$ . Atunci $F^{'} (x) = f (x)$ și

F^{''} (x) = f^{'} (x) = \frac{2 x ( x ^{2} + 4 ) - 2 x ( x ^{2} - 4 )}{( x ^{2} + 4 ) ^{2}} = \frac{16 x}{( x ^{2} + 4 ) ^{2}}, x \in R .

$F^{''} (x) \leq 0$ pentru orice $x \in (- \infty, 0]$ , deci $F$ este concavă pe $(- \infty, 0]$ .

Barem oficial: $F^{'}$ și $F^{''}$ 3p, semnul și concluzia 2p.

BAC 2022, model, III.2.b

$f : (1, + \infty) \to R$ , $f (x) = x ln (x - 1)$ . Demonstrați că $F (7) < F (3)$ , pentru orice primitivă $F$ a lui $f$ .

$F^{'} (x) = f (x) = x ln (x - 1)$ . Pentru $x \in (2, + \infty)$ : $x - 1 > 1$ , deci $ln (x - 1) > 0$ și $F^{'} (x) > 0$ . Așadar $F$ este strict crescătoare pe $(2, + \infty)$ .

Cum $2 < 7 < 3$ (pentru că $4 < 7 < 9$ ), obținem $F (7) < F (3)$ .

BAC august 2021, varianta 4, III.2.b

f : R \to R, f (x) = 1 + \frac{2 x}{x ^{4} + 1},

$F$ o primitivă a lui $f$ al cărei grafic are asimptotă oblică spre $+ \infty$ . Determinați panta acesteia.

Panta este limita raportului $\frac{F ( x )}{x}$ spre $+ \infty$ . Cu regula lui l'Hôpital:

m = x \to + \infty lim \frac{F ( x )}{x} = x \to + \infty lim \frac{F ^{'} ( x )}{1} = x \to + \infty lim (1 + \frac{2 x}{x ^{4} + 1}) = 1.

Asimptota oblică spre $+ \infty$ la graficul lui $F$ are panta egală cu 1.

BAC 2026, simulare, III.2.c: primitiva al cărei grafic e tangent la Ox

$f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = (4 x + \frac{6}{x ^{2}}) ln x$ . Determinați primitiva $F$ a lui $f$ pentru care axa $O x$ este tangentă la graficul lui $F$ .

$O x$ este tangentă la grafic în punctul $A (a, F (a))$ $⟺ F (a) = 0$ și $F^{'} (a) = 0$ . Cum $F^{'} = f$ și $4 a + \frac{6}{a ^{2}} > 0$ , din $f (a) = 0$ rezultă $ln a = 0$ , deci $a = 1$ și $F (1) = 0$ :

F (x) = \int_{1}^{x} (2 t^{2} - \frac{6}{t})^{'} ln t d t = (2 t^{2} - \frac{6}{t}) ln t_{1}^{x} - \int_{1}^{x} (2 t - \frac{6}{t ^{2}}) d t = (2 x^{2} - \frac{6}{x}) ln x - x^{2} - \frac{6}{x} + 7.

Verificare: $F (1) = 0 - 1 - 6 + 7 = 0$ , iar derivând se obține $f$ .

Barem oficial: condițiile $F (a) = 0$ , $F^{'} (a) = 0$ și $a = 1$ 2p; calculul lui $F$ (prin părți) 3p.

Exercițiu de tip BAC: verificarea și alegerea unei primitive

a) Arătați că $F : (0, + \infty) \to R$ , $F (x) = x ln x - x$ , este o primitivă a lui $f (x) = ln x$ .

$F$ este derivabilă și $F^{'} (x) = ln x + x \cdot \frac{1}{x} - 1 = ln x = f (x)$ , pentru orice $x > 0$ .

b) Determinați primitiva $G$ a lui $g (x) = 3 x^{2} + 2 x$ cu $G (1) = 5$ .

$G (x) = x^{3} + x^{2} + c$ ; $G (1) = 2 + c = 5$ , deci $c = 3$ și $G (x) = x^{3} + x^{2} + 3$ .

Primitivele diferă printr-o constantă

c = 0

Toate primitivele lui g(x) = 3x² + 2x au aceeași formă: curba doar urcă sau coboară cu c. Condiția G(1) = 5 alege una singură, cea cu c = 3.

Ce trebuie arătat ca F să fie primitivă a lui f pe I?

Model 2020: de ce orice primitivă a lui (x² − 4)/(x² + 4) e concavă pe (−∞, 0]?

Găsește primitiva lui 3x² + 2x cu F(1) = 5.

Ce se cere la BAC

2 mincum apare la examen

Problema 2 de la Subiectul al III-lea (15 puncte) are trei puncte a), b), c), câte 5 puncte. Primitivele apar mai ales la b):

Model 2020, III.2.b: concavitatea oricărei primitive, din $F^{''} = f^{'} \leq 0$ pe $(- \infty, 0]$ (numărătorul lui $f^{'}$ este $16 x$ ).
Model 2022, III.2.b: $F (7) < F (3)$ , din $F^{'} = f > 0$ pe $(2, + \infty)$ .
August 2021, III.2.b: panta asimptotei oblice a primitivei este 1.
Simulare 2026, III.2.c: primitiva tangentă la $O x$ : $F (a) = F^{'} (a) = 0$ , $a = 1$ , apoi $F (x) = \int_{1}^{x} f (t) d t$ (2p + 3p).
Uneori se cere direct „Arătați că funcția $F$ este o primitivă a funcției $f$ ” (se derivează $F$ ).

Greșeli care costă puncte

1 mincapcanele de evitat

Primitivă calculată când nu e nevoie: la b) e suficient $F^{'} = f$ ; calculul lui $F$ consumă timp și introduce erori.
Constanta de integrare uitată la integrala nedefinită (sau la determinarea primitivei cu o condiție).
Monotonia lui $F$ dedusă din monotonia lui $f$ (corect: din semnul lui $f$ ).
Intervalul uitat: semnul lui $f$ trebuie studiat exact pe intervalul din cerință.
„Orice funcție admite primitive”: fals; cele cu salturi nu admit.

Termeni-cheie

Primitivă: Fie f: I → ℝ, I interval. F: I → ℝ este primitivă a lui f dacă F este derivabilă pe I și F′(x) = f(x) pentru orice x ∈ I.
Funcție care admite primitive: Funcție f: I → ℝ pentru care există cel puțin o primitivă pe intervalul I.
Diferența a două primitive: Pe un interval, două primitive ale aceleiași funcții diferă printr-o constantă: G = F + c.
Integrala nedefinită: Mulțimea tuturor primitivelor lui f: ∫ f(x) dx = F + 𝒞, unde 𝒞 este mulțimea funcțiilor constante pe I.
Liniaritate: ∫ (αf + βg)(x) dx = α ∫ f(x) dx + β ∫ g(x) dx, pentru α, β reale (α, β nu ambele nule).
Existența primitivelor: Orice funcție continuă pe un interval admite primitive.
Proprietatea lui Darboux: O funcție care admite primitive pe un interval are proprietatea lui Darboux; o funcție cu discontinuitate de speța întâi (salt) nu admite primitive.
Primitivă și monotonie: F′ = f: dacă f > 0 pe un interval, F e strict crescătoare acolo; F″ = f′: dacă f′ ≤ 0, F e concavă.

Notițele mele

Salvat local

Surse

Programa de examen Matematică M_mate-info, Bacalaureat 2015 (Anexa 2 la OMEN 4430/2014), clasa a XII-a, Primitive
BAC 2020, model, Subiectul al III-lea, 2.b (subiect și barem)
BAC 2022, model, Subiectul al III-lea, 2.b (subiect și barem)
BAC 2021, sesiunea august, varianta 4, Subiectul al III-lea, 2.b (subiect și barem)
BAC 2026, simulare, Subiectul al III-lea, 2.c (subiect și barem)