Funcția de gradul al II-lea și relațiile lui Viète

Parabola: vârf, axă de simetrie, intersecții cu axele, monotonie, semn, inecuații de gradul al II-lea, imaginea unui interval, poziția unei drepte față de parabolă și relațiile lui Viète.

26 min
La BAC: I.2 · I.3
Verificat pe bareme

Ilustrație generată pentru ZECE (artistică, nu o planșă științifică: pentru detalii exacte vezi schemele din lecție).

ții minte doar fișa asta și ești acoperit

Fișa de aur

01
Vârful V(−b/2a, −Δ/4a). Axa de simetrie: x = −b/2a. Pentru a > 0 vârful e minim, pentru a < 0 maxim.
02
Δ > 0: taie Ox în două puncte; Δ = 0: Ox e tangentă graficului; Δ < 0: nu taie Ox.
03
Viète: x₁ + x₂ = −b/a, x₁x₂ = c/a. Orice expresie simetrică în rădăcini se scrie cu S și P.
Truc: x₁² + x₂² = S² − 2P.
04
Semnul: „în afara rădăcinilor, semnul lui a”; între rădăcini, semn contrar.
05
Dreapta y = mx + n și parabola: egalezi expresiile și studiezi Δ ecuației obținute: două, unul sau niciun punct comun.

1 din 8

Pe scurt

2 minesențialul, de recitit oricând

Culorile din lecție:termencifră, datăidee-cheie

$f (x) = a x^{2} + b x + c$ , $a \neq = 0$ ; $Δ = b^{2} - 4 a c$ ; rădăcinile $x_{1, 2} = \frac{- b \pm Δ}{2 a}$ pentru $Δ \geq 0$ .
Vârful $V (- \frac{b}{2 a}, - \frac{Δ}{4 a})$ , axa de simetrie $x = - \frac{b}{2 a}$ .
Monotonie ( $a > 0$ ): descrescătoare pe $(- \infty, - \frac{b}{2 a}]$ , crescătoare pe $[- \frac{b}{2 a}, + \infty)$ ; invers pentru $a < 0$ .
Viète: $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ , $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .
Semn: semnul lui $a$ în afara rădăcinilor; inecuații de gradul II din tabelul de semn.
Dreaptă–parabolă: numărul de puncte comune după $Δ$ ecuației $a x^{2} + b x + c = m x + n$ .

Graficul: vârf, axă, intersecții

4 min

Forma canonică explică totul:

f (x) = a (x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{Δ}{4 a} .

Pentru $a > 0$ , primul termen este $\geq 0$ , deci $f (x) \geq - \frac{Δ}{4 a}$ , cu egalitate în $x = - \frac{b}{2 a}$ : vârful este punct de minim. Pentru $a < 0$ , vârful este punct de maxim.

Δ > 0

Rădăcini reale

x_{1} \neq = x_{2}

Poziția față de Ox

taie

O x

în două puncte

Δ = 0

Rădăcini reale

x_{1} = x_{2} = - \frac{b}{2 a}

Poziția față de Ox

O x

tangentă în vârf

Δ < 0

Rădăcini reale

niciuna

Poziția față de Ox

deasupra lui

O x

(

a > 0

) sau dedesubt (

a < 0

)

1 / 3

$Δ$	Rădăcini reale	Poziția față de $O x$
$Δ > 0$	$x_{1} \neq = x_{2}$	taie $O x$ în două puncte
$Δ = 0$	$x_{1} = x_{2} = - \frac{b}{2 a}$	$O x$ tangentă în vârf
$Δ < 0$	niciuna	deasupra lui $O x$ ( $a > 0$ ) sau dedesubt ( $a < 0$ )

Trasarea prin puncte semnificative: vârful, intersecția cu $O y$ $(0, c)$ , intersecțiile cu $O x$ și simetricele lor față de axă.

Monotonie, extrem, imaginea unui interval

2 min o întrebare la final

Rata de creștere: $\frac{f ( x _{1} ) - f ( x _{2} )}{x _{1} - x _{2}} = a (x_{1} + x_{2}) + b$ ; pentru $a > 0$ ea este pozitivă când $x_{1}, x_{2} > - \frac{b}{2 a}$ , de unde monotonia.

Imaginea funcției pe $R$ : $[- \frac{Δ}{4 a}, + \infty)$ pentru $a > 0$ , $(- \infty, - \frac{Δ}{4 a}]$ pentru $a < 0$ . Pe un interval $[p, q]$ : dacă vârful este în interval, extremul este în vârf, iar celălalt capăt al imaginii este valoarea maximă (sau minimă) dintre $f (p)$ și $f (q)$ ; dacă vârful nu este în interval, funcția este monotonă pe $[p, q]$ și imaginea are capetele $f (p)$ , $f (q)$ .

Vârful și imaginea lui f(x) = x² − 4x + 3?

Semnul și inecuațiile de gradul al II-lea

3 min o întrebare la final

CazSemnul lui f(x)

Δ > 0

x_{1} < x_{2}

semnul lui

a

(- \infty, x_{1}) \cup (x_{2}, + \infty)

; semn contrar pe

(x_{1}, x_{2})

Δ = 0

semnul lui

a

R ∖ {- \frac{b}{2 a}}

Δ < 0

semnul lui

a

R

Caz	Semnul lui $f (x)$
$Δ > 0$ , $x_{1} < x_{2}$	semnul lui $a$ pe $(- \infty, x_{1}) \cup (x_{2}, + \infty)$ ; semn contrar pe $(x_{1}, x_{2})$
$Δ = 0$	semnul lui $a$ pe $R ∖ {- \frac{b}{2 a}}$
$Δ < 0$	semnul lui $a$ pe $R$

De aici: $f (x) > 0$ pentru orice $x \in R ⟺ a > 0$ și $Δ < 0$ ; $f (x) \geq 0$ pentru orice $x ⟺ a > 0$ și $Δ \leq 0$ .

Soluția inecuației x² − 5x + 6 ≤ 0?

Relațiile lui Viète și sisteme

3 min

Dacă $x_{1}, x_{2}$ sunt rădăcinile (reale sau complexe) ecuației $a x^{2} + b x + c = 0$ , atunci

S = x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}, P = x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}, x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = S^{2} - 2 P, \frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} = \frac{S}{P} .

Reciproc, două numere cu suma $s$ și produsul $p$ sunt rădăcinile ecuației $t^{2} - s t + p = 0$ ; așa se rezolvă sistemul ${x + y = s x y = p$ .

Dreaptă și parabolă: sistemul ${y = m x + n y = a x^{2} + b x + c$ duce la $a x^{2} + (b - m) x + c - n = 0$ . Două soluții reale: dreapta este secantă; una (dublă): tangentă; niciuna: dreapta și parabola nu se intersectează.

Exemple rezolvate

7 min o întrebare la final

Oficial: BAC 2022, model, I.2

Enunț: Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} + m x + 1$ , unde $m$ este număr real. Determinați numerele reale $m$ pentru care axa $O x$ este tangentă graficului funcției $f$ .

Axa $O x$ este tangentă graficului funcției $f ⟺ Δ = 0 ⟺ m^{2} - 4 = 0$

$m = - 2$ sau $m = 2$

Când e Ox tangentă parabolei

m = 1

Punctul marcat e vârful, iar Δ = m² − 4. La m = ±2 vârful ajunge pe Ox (Δ = 0), pentru |m| > 2 parabola taie Ox de două ori, iar pentru |m| < 2 nu o atinge.

Oficial: BAC 2021, model, I.2

Enunț: Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} - x + 2$ . Arătați că dreapta de ecuație $y = 2$ intersectează graficul funcției $f$ în două puncte distincte.

$f (x) = 2 ⟺ x^{2} - x + 2 = 2 ⟺ x^{2} - x = 0$

Cum ecuația $x^{2} - x = 0$ are două soluții reale și distincte ( $x = 0$ și $x = 1$ ), dreapta $y = 2$ intersectează graficul funcției $f$ în două puncte distincte.

Oficial: BAC 2020, model, M_șt-nat, I.2

Enunț: Se consideră $x_{1}$ și $x_{2}$ soluțiile ecuației $x^{2} - 6 x + m = 0$ , unde $m$ este număr real. Determinați numărul real $m$ pentru care $x_{1} x_{2} (x_{1} + x_{2}) = 12$ .

$x_{1} + x_{2} = 6$ , $x_{1} x_{2} = m$

$6 m = 12$ , deci $m = 2$

Vârf, monotonie, imaginea unui interval

Fie $f (x) = - x^{2} + 2 x + 3$ . Determinați $f ([0, 3])$ .

$a = - 1 < 0$ , vârful are abscisa $x_{V} = - \frac{2}{2 \cdot ( - 1 )} = 1 \in [0, 3]$ , $f (1) = 4$ (maximul).

$f (0) = 3$ , $f (3) = - 9 + 6 + 3 = 0$ ; funcția crește pe $[0, 1]$ și scade pe $[1, 3]$ .

$f ([0, 3]) = [0, 4]$

Imaginea intervalului [0, 3]

Vârful (1, 4) e în interval, deci dă maximul. Minimul e la capătul mai depărtat de vârf, f(3) = 0, de unde f([0, 3]) = [0, 4].

Inecuație și sistem sumă–produs

$x^{2} - 5 x + 6 \leq 0$ : rădăcinile sunt $2$ și $3$ , $a = 1 > 0$ , deci $x \in [2, 3]$ .

${x + y = 5 x y = 6$ : $x$ și $y$ sunt rădăcinile ecuației $t^{2} - 5 t + 6 = 0$ , adică $2$ și $3$ ; soluțiile sunt $(2, 3)$ și $(3, 2)$ .

Pentru ce m este x² − 2x + m > 0 pentru orice x real?

Ce se cere la BAC

4 mincum apare la examen

Condiție pe Δ: tangența la $O x$ (model 2022, I.2: $m = \pm 2$ ), două puncte de intersecție cu o dreaptă (model 2021, I.2).
Relațiile lui Viète cu o expresie simetrică (M_șt-nat model 2020, I.2: $m = 2$ ).
Un singur punct comun dreaptă–parabolă: simulare 2026, I.2: $f (x) = 2 x - 1$ , $g (x) = x^{2} - 4 x + m$ ; barem: $f (x) = g (x) ⟺ x^{2} - 6 x + m + 1 = 0$ , soluție unică $⟺ Δ = 32 - 4 m = 0$ , deci $m = 8$ .
Compunere cu gradul al II-lea: specială 2026, varianta 2, I.2: $f (x) = a x^{2} + 2 a x - 1$ , $(f \circ f) (0) = 0$ ; barem: $f (0) = - 1$ , $(f \circ f) (0) = f (- 1) = - a - 1$ , deci $a = - 1$ .
Vârf, maxim sau minim, imaginea funcției sau a unui interval.
Inecuație de gradul al II-lea ca pas într-o altă problemă (domeniul unui logaritm, semnul unei derivate în Subiectul III).

Greșeli care costă puncte

1 mincapcanele de evitat

Semnul sumei în relațiile lui Viète ( $- \frac{b}{a}$ ).
Vârful calculat cu $\frac{b}{2 a}$ în loc de $- \frac{b}{2 a}$ .
Imaginea unui interval luată doar din capete, când vârful este în interval.
Semnul lui a ignorat la $Δ < 0$ : $x^{2} + x + 1 > 0$ are soluția $R$ .
„Două puncte distincte” cere explicit $Δ > 0$ sau două soluții distincte scrise.

Termeni-cheie

Funcția de gradul al II-lea: f : ℝ → ℝ, f(x) = ax² + bx + c, a, b, c ∈ ℝ, a ≠ 0; graficul este o parabolă.
Discriminantul: Δ = b² − 4ac; Δ > 0: două rădăcini reale distincte; Δ = 0: o rădăcină dublă; Δ < 0: nicio rădăcină reală.
Vârful parabolei: V(−b/(2a), −Δ/(4a)); dreapta x = −b/(2a) este axa de simetrie.
Extremul funcției: a > 0: minimul −Δ/(4a), atins în −b/(2a); a < 0: maximul −Δ/(4a).
Relațiile lui Viète: Pentru rădăcinile x₁, x₂ ale lui ax² + bx + c = 0: x₁ + x₂ = −b/a, x₁·x₂ = c/a.
Semnul funcției de gradul II: Pentru Δ > 0: semnul lui a în afara rădăcinilor, semn contrar lui a între rădăcini. Pentru Δ < 0: semnul lui a pe ℝ.
Parabola tangentă la Ox: Graficul are un singur punct comun cu Ox ⇔ Δ = 0.
Dreaptă și parabolă: Numărul punctelor comune este numărul soluțiilor reale ale ecuației ax² + bx + c = mx + n (după Δ al acestei ecuații).
Sistemul sumă–produs: x + y = s, xy = p: x și y sunt rădăcinile ecuației t² − st + p = 0.

Notițele mele

Salvat local

Pe scurt

Graficul: vârf, axă, intersecții

Monotonie, extrem, imaginea unui interval

Semnul și inecuațiile de gradul al II-lea

Relațiile lui Viète și sisteme

Exemple rezolvate

Ce se cere la BAC

Greșeli care costă puncte

Termeni-cheie

Notițele mele

Surse