Funcția de gradul I, inecuații și sisteme

f(x) = ax + b: grafic, intersecții cu axele, monotonie și semn, inecuații de gradul I, poziția a două drepte și sisteme liniare 2 × 2, cu itemii oficiali „pentru orice x”.

20 min
La BAC: I.2
Verificat pe bareme

Ilustrație generată pentru ZECE (artistică, nu o planșă științifică: pentru detalii exacte vezi schemele din lecție).

ții minte doar fișa asta și ești acoperit

Fișa de aur

01
Graficul lui f(x) = ax + b e o dreaptă: taie Oy în (0, b) și Ox în (−b/a, 0).
02
a > 0: crescătoare; a < 0: descrescătoare. Semnul lui a apare la dreapta rădăcinii.
Truc: „La dreapta, semnul lui a”: ca la gradul II, „în afara rădăcinilor, semnul lui a”.
03
„Pentru orice x” ⇒ calculezi expresia, o aduci la forma αx + β și identifici coeficienții cu cei din dreapta.
04
Inecuația: la împărțirea cu un număr negativ se schimbă sensul.
05
Sistemul 2 × 2 are soluție unică dacă an − bm ≠ 0; rezolvi prin substituție sau reducere, apoi verifici în ambele ecuații.

1 din 7

Pe scurt

3 minesențialul, de recitit oricând

Culorile din lecție:termenidee-cheie

$f : R \to R$ , $f (x) = a x + b$ , $a \neq = 0$ ; graficul este dreapta $y = a x + b$ , de pantă $a$ .
Intersecții: $G_{f} \cap O y = {(0, b)}$ , $G_{f} \cap O x = {(- \frac{b}{a}, 0)}$ .
Monotonie: $a > 0$ strict crescătoare, $a < 0$ strict descrescătoare; semn: semnul lui $a$ la dreapta rădăcinii.
Inecuații $a x + b \leq 0$ : atenție la împărțirea cu $a < 0$ .
Sisteme ${a x + b y = c m x + n y = p$ : soluție unică dacă $an - bm \neq = 0$ (drepte concurente).
La BAC, I.2 cere des o relație pentru orice x sau un parametru dintr-o condiție.

Graficul, intersecțiile, monotonia, semnul

2 min o întrebare la final

Pentru $f (x) = a x + b$ și $x_{1} \neq = x_{2}$ :

\frac{f ( x _{1} ) - f ( x _{2} )}{x _{1} - x _{2}} = \frac{a x _{1} - a x _{2}}{x _{1} - x _{2}} = a,

deci rata de creștere este constantă și egală cu panta. Rezultă: $a > 0 \Rightarrow f$ strict crescătoare, $a < 0 \Rightarrow f$ strict descrescătoare.

Tabelul de semn, pentru rădăcina $x_{0} = - \frac{b}{a}$ :

f (x)

(-\infty, x_0)

semn contrar lui

a

x_0

(x_0, +\infty)

semnul lui

a

$x$	$(- \infty, x_{0})$	$x_{0}$	$(x_{0}, + \infty)$
$f (x)$	semn contrar lui $a$	0	semnul lui $a$

Graficul se trasează prin două puncte, de obicei intersecțiile cu axele.

Panta decide dacă dreapta urcă sau coboară

a = −1,5

Mută cursorul: pentru a > 0 funcția e strict crescătoare, pentru a < 0 strict descrescătoare. Dreapta taie mereu Oy în (0, b), iar b nu depinde de a.

Unde taie graficul lui f(x) = 2x − 6 axele?

Inecuații și sisteme de inecuații

2 min

$a x + b \leq 0$ se rezolvă izolând $x$ : pentru $a > 0$ , $x \leq - \frac{b}{a}$ ; pentru $a < 0$ , $x \geq - \frac{b}{a}$ . Pe un interval dat, soluția este intersecția cu acel interval.

Un sistem de inecuații are ca soluție intersecția mulțimilor de soluții ale fiecărei inecuații. Exemplu: $2 x - 1 > 3$ și $x - 7 \leq 0$ dau $x > 2$ și $x \leq 7$ , adică $x \in (2, 7]$ .

Poziția a două drepte, sisteme liniare

3 min o întrebare la final

Dreptele $a x + b y = c$ și $m x + n y = p$ sunt:

concurente (sistem cu soluție unică) dacă $an - bm \neq = 0$ ;
paralele (sistem fără soluții) dacă $an - bm = 0$ și ecuațiile nu sunt proporționale;
confundate (o infinitate de soluții) dacă ecuațiile sunt proporționale.

Metode: substituția (scoți o necunoscută dintr-o ecuație și o înlocuiești în cealaltă) și reducerea (înmulțești ecuațiile ca să se reducă o necunoscută la adunare).

Exemplu de discuție: ${x + 2 y = 3 2 x + 4 y = k$ . Aici $an - bm = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 2 = 0$ . Pentru $k = 6$ ecuațiile sunt proporționale (drepte confundate, o infinitate de soluții); pentru $k \neq = 6$ dreptele sunt paralele și sistemul nu are soluții.

Mulțimea soluțiilor sistemului 2x − 1 > 3, x − 7 ≤ 0?

Exemple rezolvate

6 min o întrebare la final

Oficial: BAC 2020, sesiunea iunie, varianta 6, I.2

Enunț: Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 3 x + a$ , unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$ , știind că $f (x) + f (1 - x) = 7$ , pentru orice număr real $x$ .

$f (x) + f (1 - x) = 3 x + a + 3 (1 - x) + a = 2 a + 3$ , pentru orice număr real $x$

$2 a + 3 = 7 \Rightarrow a = 2$

Oficial: BAC 2026, sesiunea iunie-iulie, varianta 3, I.2

Enunț: Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 3 x - 4$ . Determinați numărul real $a$ pentru care $f (a) + f (- 2 a) = a$ .

$f (a) = 3 a - 4$ , $f (- 2 a) = - 6 a - 4$ , pentru orice număr real $a$

$3 a - 4 - 6 a - 4 = a$ , de unde obținem $a = - 2$

Funcția din două valori

Determinați funcția de gradul I $f : R \to R$ pentru care $f (1) = 3$ și $f (2) = 5$ .

$f (x) = a x + b$ : $a + b = 3$ și $2 a + b = 5$

Prin scădere, $a = 2$ , apoi $b = 1$ , deci $f (x) = 2 x + 1$ .

Sistem liniar

Rezolvați în $R \times R$ sistemul ${x + 2 y = 5 3 x - y = 1$ .

Din a doua ecuație, $y = 3 x - 1$ ; înlocuind în prima, $x + 6 x - 2 = 5 ⟺ x = 1$

$y = 3 \cdot 1 - 1 = 2$ , deci soluția este $(1, 2)$ (verificare: $1 + 4 = 5$ , $3 - 2 = 1$ ).

Soluția sistemului e punctul comun

Fiecare ecuație e o dreaptă, iar soluția verifică ambele ecuații. De aceea (x, y) = (1, 2) este punctul în care se întâlnesc.

f(x) = 3x − 4, f(a) + f(−2a) = a. Cât este a?

Ce se cere la BAC

3 mincum apare la examen

Parametru dintr-o relație „pentru orice x”: iunie 2020, varianta 6, I.2 ( $a = 2$ ).
Ecuație cu valori ale funcției: iunie-iulie 2026, varianta 3, I.2 ( $a = - 2$ ).
Recente: rezervă iunie-iulie 2026, varianta 7, I.2: $f (x) = 2 x - 5$ , $a + f (a - 1) + f (a + 1) = 0$ ; barem: $f (a - 1) = 2 a - 7$ , $f (a + 1) = 2 a - 3$ , deci $5 a - 10 = 0$ , $a = 2$ . Iunie-iulie 2024, varianta 10, I.2: $f (x) = x - 6$ , $f (a) + f (3 a) = 0$ ; barem: $a - 6 + 3 a - 6 = 0$ , deci $a = 3$ .
Intersecția graficului cu axele sau a două grafice de gradul I: sistem de două ecuații.
Semnul sau monotonia unei funcții de gradul I apar ca pas intermediar în Subiectul III (de exemplu, semnul derivatei când aceasta este de gradul I).

Greșeli care costă puncte

1 mincapcanele de evitat

Lipsa precizării „pentru orice număr real x” când se calculează o expresie care trebuie să fie identic egală.
Sensul inecuației neschimbat la împărțirea cu un număr negativ.
Semnul lui −b/a greșit: rădăcina lui $2 x - 6$ este $3$ , nu $- 3$ .
Sistem rezolvat fără verificare: perechea trebuie să verifice ambele ecuații.

Termeni-cheie

Funcția de gradul I: f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, cu a, b ∈ ℝ, a ≠ 0. Graficul este o dreaptă.
Panta dreptei: Coeficientul a din y = ax + b; a = (f(x₁) − f(x₂))/(x₁ − x₂) pentru orice x₁ ≠ x₂.
Rădăcina funcției: x₀ = −b/a, soluția ecuației f(x) = 0; graficul taie Ox în (−b/a, 0).
Monotonia: a > 0: f strict crescătoare; a < 0: f strict descrescătoare.
Semnul funcției: f are semnul lui a la dreapta rădăcinii și semn contrar lui a la stânga rădăcinii.
Sistem compatibil determinat: Sistem cu soluție unică; pentru ax + by = c, mx + ny = p, are loc dacă an − bm ≠ 0 (dreptele sunt concurente).
Drepte paralele / confundate: an − bm = 0: dreptele sunt paralele (sistem incompatibil) sau confundate (sistem cu o infinitate de soluții).
Egalitate pentru orice x: Două expresii de gradul I sunt egale pentru orice x ⇔ au aceiași coeficienți (identificarea coeficienților).

Notițele mele

Salvat local