Integrarea prin părți

Formula de integrare prin părți pentru integrala definită, cum alegi f și g′ (polinom cu exponențială, logaritm, arctangentă, trigonometrice), integrarea de două ori și cazul „ciclic”, cu două itemi oficiali rezolvați ca în barem.

25 min
La BAC: Subiectul al III-lea (2)
Verificat pe bareme

Ilustrație generată pentru ZECE (artistică, nu o planșă științifică: pentru detalii exacte vezi schemele din lecție).

ții minte doar fișa asta și ești acoperit

Fișa de aur

01
∫ₐᵇ f·g′ = f·g|ₐᵇ − ∫ₐᵇ f′·g: muți derivata de pe un factor pe celălalt.
02
Alegi f = ce se simplifică prin derivare (polinom, ln, arctg) și g′ = ce se integrează ușor (eˣ, sin, cos, putere).
Truc: Truc personal, nu din manual (adaptarea englezescului LIATE): „LIPTE” = Logaritm, Inverse trigonometrice, Polinoame, Trigonometrice, Exponențiale; cel mai din stânga devine f.
03
∫ ln x dx = x ln x − x + C (prin părți cu g′ = 1).
04
La eˣ·sin x aplici de două ori, reapare integrala și rezolvi ecuația în ea.
05
Poți alege orice primitivă pentru g: model 2022 ia (x² − 1)/2 pentru x, ca să se simplifice cu x − 1.

1 din 5

Pe scurt

2 minesențialul, de recitit oricând

Culorile din lecție:termencifră, datăidee-cheie

Formula: $\int_{a}^{b} f (x) g^{'} (x) d x = f (x) g (x)_{a}^{b} - \int_{a}^{b} f^{'} (x) g (x) d x$ .
Alegi $f$ = factorul care se simplifică prin derivare, $g^{'}$ = factorul ușor de integrat.
$\int ln x d x = x ln x - x + C$ ; $\int x e^{x} d x = (x - 1) e^{x} + C$ .
Polinom de grad $n$ ori exponențială: aplici formula de $n$ ori. $e^{x} sin x$ : de două ori, apoi ecuație.
Pentru $g$ poți alege orice primitivă; una bine aleasă scurtează calculul.

Formula

5 min o întrebare la final

Teoremă. Dacă $f, g : [a, b] \to R$ sunt derivabile, cu derivate continue, atunci

\int_{a}^{b} f (x) g^{'} (x) d x = f (x) g (x)_{a}^{b} - \int_{a}^{b} f^{'} (x) g (x) d x .

Demonstrație: $(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}$ ; integrând pe $[a, b]$ și aplicând Leibniz–Newton, $f (b) g (b) - f (a) g (a) = \int_{a}^{b} f^{'} g + \int_{a}^{b} f g^{'}$ .

Scrii integrandul ca produs f · g′
Identifici explicit cine e $f$ și cine e $g^{'}$ ; scrii $g^{'}$ ca derivată: de exemplu $e^{x} = (e^{x})^{'}$ , $x = (\frac{x ^{2}}{2})^{'}$ .
Aplici formula
Termenul $f g$ cu capetele, minus integrala lui $f^{'} g$ .
Calculezi integrala rămasă
Dacă e tot un produs, aplici din nou formula sau recunoști o formă din tabel.

P (x) e^{x}

P (x) sin x

P (x) cos x

P (x)

e^{x}

sin x

cos x

P (x) ln x

ln x

P (x)

ln x

arctg x

(singure)

ln x

arctg x

1

e^{x} sin x

e^{x} cos x

oricare (ciclic)

celălalt

1 / 4

Tip de integrand	$f$	$g^{'}$
$P (x) e^{x}$ , $P (x) sin x$ , $P (x) cos x$	$P (x)$	$e^{x}$ , $sin x$ , $cos x$
$P (x) ln x$	$ln x$	$P (x)$
$ln x$ , $arctg x$ (singure)	$ln x$ , $arctg x$	$1$
$e^{x} sin x$ , $e^{x} cos x$	oricare (ciclic)	celălalt

August 2021, c): cât este ∫₀¹ x·G(x) dx, G(x) = x + arctg(x²)?

Exemple rezolvate

14 min 2 întrebări la final

Exercițiu de tip BAC: polinom ori exponențială

\int_{0}^{1} x e^{x} d x = \int_{0}^{1} x (e^{x})^{'} d x = x e^{x}_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} d x = e - (e - 1) = 1.

Cine e f și cine e g′

Alegi
f = x (polinomul se derivează), g′ = eˣ
Derivezi și integrezi
f′ = 1, g = eˣ
Aplici formula
x eˣ de la 0 la 1, minus integrala lui 1 · eˣ de la 0 la 1
Calculezi
e − (e − 1) = 1

Alegerea e bună dacă integrala rămasă e mai simplă decât cea de la început: aici x a dispărut.

Exercițiu de tip BAC: logaritm și sinus

\int_{1}^{e} ln x d x = \int_{1}^{e} (x)^{'} ln x d x = x ln x_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \cdot \frac{1}{x} d x = e - (e - 1) = 1.

\int_{0}^{π} x sin x d x = \int_{0}^{π} x (- cos x)^{'} d x = - x cos x_{0}^{π} + \int_{0}^{π} cos x d x = π + sin x_{0}^{π} = π .

BAC 2022, model, III.2.c

$f : (1, + \infty) \to R$ , $f (x) = x ln (x - 1)$ . Determinați $m$ știind că integrala lui $f$ pe $[3, 5]$ este egală cu $m (4 ln 2 - 1)$ .

Alegem pentru $x$ primitiva $\frac{x ^{2} - 1}{2}$ (se simplifică apoi cu $x - 1$ ):

\int_{3}^{5} f (x) d x = \int_{3}^{5} (\frac{x ^{2} - 1}{2})^{'} ln (x - 1) d x = \frac{x ^{2} - 1}{2} ln (x - 1)_{3}^{5} - \frac{1}{2} \int_{3}^{5} \frac{( x - 1 ) ( x + 1 )}{x - 1} d x

= 12 ln 4 - 4 ln 2 - \frac{1}{2} (\frac{x ^{2}}{2} + x)_{3}^{5} = 20 ln 2 - 5 = 5 (4 ln 2 - 1),

de unde $m = 5$ .

Barem oficial: integrarea prin părți 3p, calculul și $m = 5$ 2p.

BAC august 2021, varianta 4, III.2.c

$G (x) = x + arctg (x^{2})$ (primitiva lui $f$ cu $G (0) = 0$ , vezi lecția despre funcția integrală). Arătați că $\int_{0}^{1} x G (x) d x = \frac{1}{3} + \frac{π}{8} - \frac{1}{4} ln 2$ .

\int_{0}^{1} x G (x) d x = \int_{0}^{1} x^{2} d x + \frac{1}{2} \int_{0}^{1} (x^{2})^{'} arctg (x^{2}) d x = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} x^{2} arctg (x^{2})_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x ^{3}}{x ^{4} + 1} d x

= \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{4} - \frac{1}{4} ln (x^{4} + 1)_{0}^{1} = \frac{1}{3} + \frac{π}{8} - \frac{1}{4} ln 2.

BAC 2023, sesiunea iunie-iulie, varianta 1, III.2.b

$f (x) = (x^{2} + 2 x) e^{- x}$ . Arătați că $\int_{0}^{1} \frac{f ( x )}{x + 2} d x = \frac{e - 2}{e}$ .

Pe $[0, 1]$ , $\frac{f ( x )}{x + 2} = x e^{- x}$ , cu $f = x$ și $g^{'} = e^{- x} = (- e^{- x})^{'}$ :

\int_{0}^{1} x (- e^{- x})^{'} d x = x (- e^{- x})_{0}^{1} - \int_{0}^{1} (- e^{- x}) d x = - \frac{1}{e} - e^{- x}_{0}^{1} = - \frac{1}{e} - \frac{1}{e} + 1 = \frac{e - 2}{e} .

Barem oficial: integrarea prin părți 3p; valoarea 2p.

BAC 2024, sesiunea specială, varianta 9, III.2.b

$f (x) = x + 1 + x ln x$ , $x > 0$ . Arătați că $\int_{1}^{e} (f (x) - x - 1) d x = \frac{e ^{2} + 1}{4}$ .

\int_{1}^{e} x ln x d x = \int_{1}^{e} (\frac{x ^{2}}{2})^{'} ln x d x = \frac{x ^{2}}{2} ln x_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x}{2} d x = \frac{e ^{2}}{2} - \frac{e ^{2}}{4} + \frac{1}{4} = \frac{e ^{2} + 1}{4} .

Barem oficial: integrarea prin părți 3p; valoarea 2p. (Aici $f = ln x$ , $g^{'} = x$ : logaritmul se derivează.)

Exercițiu de tip BAC: integrală ciclică

Fie $I = \int_{0}^{π} e^{x} sin x d x$ . Cu $f = sin x$ , $g^{'} = e^{x}$ :

I = e^{x} sin x_{0}^{π} - \int_{0}^{π} e^{x} cos x d x = - (e^{x} cos x_{0}^{π} + \int_{0}^{π} e^{x} sin x d x) = - (- e^{π} - 1) - I .

Deci $2 I = e^{π} + 1$ , adică $I = (e^{π} + 1) /2$ .

Cât este ∫₁ᵉ ln x dx?

Cât este ∫₀^π x·sin x dx?

Ce se cere la BAC

3 mincum apare la examen

Model 2022, III.2.c: $\int_{3}^{5} x ln (x - 1) d x = 5 (4 ln 2 - 1)$ , deci $m = 5$ (prin părți cu primitiva $\frac{x ^{2} - 1}{2}$ ).
August 2021, III.2.c: $\int_{0}^{1} x G (x) d x = \frac{1}{3} + \frac{π}{8} - \frac{1}{4} ln 2$ (prin părți cu $arctg (x^{2})$ ).
În 2023–2026 apare cel mai des la b): iunie 2023 ( $\int_{0}^{1} x e^{- x} = \frac{e - 2}{e}$ ), simulare 2024 ( $\int_{0}^{1} (x + 1) e^{- x} = \frac{2 e - 3}{e}$ ), specială 2024 ( $\int_{1}^{e} x ln x = \frac{e ^{2} + 1}{4}$ ), specială 2025 ( $\int_{0}^{1} (x + 4) e^{- x} = 5 - \frac{6}{e}$ ), august 2025 ( $\int_{0}^{1} 4 x e^{2 x} = e^{2} + 1$ ).
Integrarea prin părți apare de obicei la b) sau c) și aduce 5 puncte, repartizate în barem pe aplicarea formulei și pe calculul final.

Greșeli care costă puncte

1 mincapcanele de evitat

Alegere inversă ( $f = e^{x}$ , $g^{'} = x$ ): integrala rămasă devine mai grea.
Minusul din formulă pierdut la a doua aplicare.
Termenul $f g$ fără capete în integrala definită.
$ln 4$ lăsat nesimplificat când răspunsul cere forma cu $ln 2$ ( $ln 4 = 2 ln 2$ ).
Primitive greșite pentru $g^{'}$ : verifică $g$ derivând-o.

Termeni-cheie

Formula de integrare prin părți: Dacă f, g: [a, b] → ℝ sunt derivabile cu derivatele continue, atunci ∫ₐᵇ f(x)g′(x) dx = f(x)g(x)|ₐᵇ − ∫ₐᵇ f′(x)g(x) dx.
Varianta nedefinită: ∫ f(x)g′(x) dx = f(x)g(x) − ∫ f′(x)g(x) dx.
Alegerea lui f: f este factorul care se simplifică prin derivare (polinom, ln x, arctg x); g′ este factorul ușor de integrat (eˣ, sin x, cos x, xⁿ).
Logaritmul și arctangenta: ∫ ln x dx și ∫ arctg x dx se fac prin părți cu g′ = 1: ∫ ln x dx = x ln x − x + C.
Integrare de mai multe ori: Pentru xⁿ·eˣ se aplică formula de n ori; fiecare aplicare scade gradul polinomului cu 1.
Integrală ciclică: La eˣ·sin x sau eˣ·cos x, după două aplicări reapare integrala inițială; se rezolvă o ecuație în ea.
Primitivă convenabilă: Pentru g′ se poate alege orice primitivă; de exemplu pentru x se ia (x² − 1)/2 ca să se simplifice cu ln(x − 1).

Notițele mele

Salvat local

Surse

Programa de examen Matematică M_mate-info, Bacalaureat 2015 (Anexa 2 la OMEN 4430/2014), clasa a XII-a, Metode de calcul
BAC 2022, model, Subiectul al III-lea, 2.c (subiect și barem)
BAC 2021, sesiunea august, varianta 4, Subiectul al III-lea, 2.c (subiect și barem)
BAC 2023, sesiunea iunie-iulie, varianta 1, Subiectul al III-lea, 2.b (subiect și barem)
BAC 2024, sesiunea specială, varianta 9, Subiectul al III-lea, 2.b (subiect și barem)