Integrala definită: sume Riemann, formula Leibniz–Newton, proprietăți, teorema de medie

Diviziuni, sume Riemann și definiția integrabilității, formula Leibniz–Newton, liniaritatea, aditivitatea și monotonia integralei, teorema de medie și cum se rezolvă punctul a) de la Subiectul al III-lea.

26 min
La BAC: Subiectul al III-lea (2)
Verificat pe bareme

Ilustrație generată pentru ZECE (artistică, nu o planșă științifică: pentru detalii exacte vezi schemele din lecție).

ții minte doar fișa asta și ești acoperit

Fișa de aur

01
Leibniz–Newton: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a), unde F e o primitivă a lui f.
02
Punctul a) de la III.2 aproape mereu: simplifici expresia de sub integrală (de obicei factorul se reduce), apoi aplici Leibniz–Newton.
Truc: Întâi uită-te ce se simplifică: (x³ + 1)·f²(x) devine x².
03
Aditivitate: rupi integrala în punctul în care se schimbă formula (modul, funcție pe ramuri).
04
Monotonie: f ≤ g pe [a, b] ⇒ ∫ f ≤ ∫ g. Așa se estimează integralele și se calculează limite la c).
05
Teorema de medie: f continuă ⇒ ∫ₐᵇ f = (b − a)·f(c) pentru un c din [a, b].

1 din 7

Pe scurt

2 minesențialul, de recitit oricând

Culorile din lecție:termenidee-cheie

Suma Riemann: $σ_{Δ} (f, ξ) = \sum f (ξ_{i}) (x_{i} - x_{i - 1})$ ; $f$ este integrabilă dacă sumele au o limită comună când norma diviziunii tinde la 0.
Orice funcție continuă pe $[a, b]$ este integrabilă.
Leibniz–Newton: $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$ , cu $F$ primitivă a lui $f$ .
Proprietăți: liniaritate, aditivitate în raport cu intervalul, monotonie.
Teorema de medie: pentru $f$ continuă există $c \in [a, b]$ cu $\int_{a}^{b} f = (b - a) f (c)$ .

Sume Riemann și integrabilitate

5 min o întrebare la final

Fie $f : [a, b] \to R$ .

O diviziune a lui $[a, b]$ este $Δ = (x_{0}, x_{1}, \dots, x_{n})$ cu $a = x_{0} < x_{1} < \dots < x_{n} = b$ . Norma ei, $∥ Δ ∥$ , este cea mai mare dintre lungimile $x_{i} - x_{i - 1}$ .
Un sistem de puncte intermediare este $ξ = (ξ_{1}, \dots, ξ_{n})$ cu $ξ_{i} \in [x_{i - 1}, x_{i}]$ .
Suma Riemann asociată:

σ_{Δ} (f, ξ) = i = 1 \sum n f (ξ_{i}) (x_{i} - x_{i - 1}) .

Definiție. $f$ este integrabilă pe $[a, b]$ dacă există un număr real $I$ astfel încât, pentru orice șir de diviziuni $(Δ_{n})$ cu $∥ Δ_{n} ∥ \to 0$ și orice alegere a punctelor intermediare, sumele Riemann corespunzătoare tind la $I$ . Numărul $I$ se notează $\int_{a}^{b} f (x) d x$ .

Interpretare geometrică. Dacă $f \geq 0$ , suma Riemann este suma ariilor unor dreptunghiuri de bază $x_{i} - x_{i - 1}$ și înălțime $f (ξ_{i})$ ; integrala este aria mulțimii de sub grafic (vezi lecția despre arii).

Dreptunghiurile umplu aria

n = 6

Suma ariilor dreptunghiurilor este suma Riemann pentru x² pe [0, 3]. Mărește n: suma se apropie de aria de sub curbă, adică de 9.

Teoremă. Orice funcție continuă pe $[a, b]$ este integrabilă pe $[a, b]$ .

August 2021, a): cât este integrala pe [0, 1] din (x⁴ + 1)·f(x), f(x) = 1 + 2x/(x⁴ + 1)?

Formula Leibniz–Newton

1 min o întrebare la final

Teoremă. Dacă $f : [a, b] \to R$ este integrabilă și admite primitive, iar $F$ este o primitivă a ei, atunci

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (x)_{a}^{b} = F (b) - F (a) .

Rezultatul nu depinde de primitiva aleasă (constanta se reduce).

Ce spune formula Leibniz–Newton?

Proprietățile integralei definite

4 min o întrebare la final

Pentru $f, g$ integrabile pe $[a, b]$ :

convenții: $\int_{a}^{a} f = 0$ și $\int_{b}^{a} f = - \int_{a}^{b} f$ ;
liniaritate: $\int_{a}^{b} (α f + β g) = α \int_{a}^{b} f + β \int_{a}^{b} g$ ;
aditivitate: pentru $c \in (a, b)$ , $\int_{a}^{b} f = \int_{a}^{c} f + \int_{c}^{b} f$ ;
pozitivitate: $f \geq 0$ pe $[a, b]$ implică $\int_{a}^{b} f \geq 0$ ;
monotonie: $f \leq g$ pe $[a, b]$ implică $\int_{a}^{b} f \leq \int_{a}^{b} g$ ;
modul: $\int_{a}^{b} f \leq \int_{a}^{b} ∣ f ∣$ ;
încadrare: dacă $m \leq f (x) \leq M$ pe $[a, b]$ , atunci $m (b - a) \leq \int_{a}^{b} f \leq M (b - a)$ .

Teorema de medie. Dacă $f$ este continuă pe $[a, b]$ , există $c \in [a, b]$ astfel încât

\int_{a}^{b} f (x) d x = (b - a) f (c) .

Ce garantează teorema de medie?

Exemple rezolvate (punctul a)

9 min

BAC iunie 2020, varianta 6, III.2.a

f : (- 1, + \infty) \to R, f (x) = \frac{x}{x ^{3} + 1}

\int_{0}^{1} (x^{3} + 1) f^{2} (x) d x = \int_{0}^{1} (x^{3} + 1) \cdot \frac{x ^{2}}{x ^{3} + 1} d x = \int_{0}^{1} x^{2} d x = \frac{x ^{3}}{3}_{0}^{1} = \frac{1}{3} .

Barem oficial: simplificarea 3p, rezultatul 2p.

BAC august 2021, varianta 4, III.2.a

f : R \to R, f (x) = 1 + \frac{2 x}{x ^{4} + 1}

\int_{0}^{1} (x^{4} + 1) f (x) d x = \int_{0}^{1} (x^{4} + 1 + 2 x) d x = (\frac{x ^{5}}{5} + x + x^{2})_{0}^{1} = \frac{1}{5} + 1 + 1 = \frac{11}{5} .

BAC 2022, model, III.2.a

$f : (1, + \infty) \to R$ , $f (x) = x ln (x - 1)$ . Pe $[4, 6]$ , $ln (x - 1) \neq = 0$ , deci

\int_{4}^{6} \frac{f ( x )}{ln ( x - 1 )} d x = \int_{4}^{6} x d x = \frac{x ^{2}}{2}_{4}^{6} = 18 - 8 = 10.

BAC 2026, sesiunea iunie-iulie, varianta 3, III.2.a

$f : (1, + \infty) \to R$ , $f (x) = \frac{x ^{2} - 4}{x l n x}$ . Pe $[2, 3]$ , $x ln x \neq = 0$ , deci

\int_{2}^{3} f (x) x ln x d x = \int_{2}^{3} (x^{2} - 4) d x = (\frac{x ^{3}}{3} - 4 x)_{2}^{3} = - 3 + \frac{16}{3} = \frac{7}{3} .

Barem oficial: simplificarea și primitiva 3p; valoarea 2p.

BAC 2023, simulare, III.2.c (monotonia integralei)

$f : (- 3, + \infty) \to R$ , $f (x) = \frac{x ^{2} + 1}{x + 3}$ . Demonstrați că $\int_{0}^{1} \frac{1}{f ( x )} d x \leq \frac{π}{2}$ .

Pentru $x \in [0, 1]$ : $x + 3 \leq 2$ , deci $\frac{1}{f ( x )} = \frac{x + 3}{x ^{2} + 1} \leq \frac{2}{x ^{2} + 1}$ . Din monotonia integralei,

\int_{0}^{1} \frac{1}{f ( x )} d x \leq 2 \int_{0}^{1} \frac{1}{x ^{2} + 1} d x = 2 arctg x_{0}^{1} = \frac{π}{2} .

Barem oficial: majorarea integrandului și integrarea inegalității 3p; calculul $2 arctg x_{0}^{1} = \frac{π}{2}$ 2p.

Exercițiu de tip BAC: aditivitate și monotonie

a) $\int_{0}^{2} ∣ x - 1 ∣ d x = \int_{0}^{1} (1 - x) d x + \int_{1}^{2} (x - 1) d x = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ .

b) Arătați că $0 \leq \int_{0}^{1} \frac{x ^{2}}{x + 1} d x \leq \frac{1}{3}$ .

Pentru $x \in [0, 1]$ : $x + 1 \geq 1$ , deci $0 \leq \frac{x ^{2}}{x + 1} \leq x^{2}$ . Din monotonia integralei,

0 \leq \int_{0}^{1} \frac{x ^{2}}{x + 1} d x \leq \int_{0}^{1} x^{2} d x = \frac{1}{3} .

c) Teorema de medie pentru $f (x) = x^{2}$ pe $[0, 3]$ : $\int_{0}^{3} x^{2} d x = 9 = 3 \cdot c^{2}$ , deci $c = 3 \in [0, 3]$ .

Teorema de medie: dreptunghiul cu aceeași arie

∫₀³ x² dx = 9, adică exact aria dreptunghiului de bază 3 și înălțime 3. Înălțimea e chiar f(c), cu c = √3, ca la punctul c).

Ce se cere la BAC

4 mincum apare la examen

Punctul a) de la III.2 este, aproape fără excepție, o integrală definită care se simplifică înainte de calcul:
- iunie 2020: $(x^{3} + 1) f^{2} (x) = x^{2}$ , rezultat $\frac{1}{3}$ ;
- august 2021: $(x^{4} + 1) f (x) = x^{4} + 1 + 2 x$ , rezultat $\frac{11}{5}$ ;
- model 2022: $f (x) / ln (x - 1) = x$ , rezultat $10$ ;
- model 2020: $(x^{2} + 4) f (x) = x^{2} - 4$ pe $[0, 1]$ , rezultat $- \frac{11}{3}$ ;
- iunie 2026: $f (x) \cdot x ln x = x^{2} - 4$ pe $[2, 3]$ , rezultat $\frac{7}{3}$ ; la fel, în 2023–2026 toate punctele a) de la III.2 au avut această formă (3p primitiva, 2p valoarea).
Monotonia integralei a dat și puncte c) fără limite: simulare 2023 ( $\int_{0}^{1} \frac{1}{f} \leq \frac{π}{2}$ ), model 2025 ( $\int_{0}^{1} \frac{x}{f ( x ) + 1} d x \leq 1 - \frac{2}{e}$ , din $e^{x} + x^{2} \geq e^{x}$ ).
Monotonia integralei apare la c), în limitele de șiruri de integrale (vezi lecția dedicată).

Greșeli care costă puncte

2 mincapcanele de evitat

$F (a) - F (b)$ în loc de $F (b) - F (a)$ .
Simplificare nejustificată: împarți la o expresie fără să arăți că e nenulă pe interval (de exemplu $ln (x - 1) \neq = 0$ pe $[4, 6]$ ).
Rezultat lăsat necalculat (corectorul vrea valoarea finală, de exemplu $\frac{11}{5}$ ).
Modulul sau funcția pe ramuri integrate fără a rupe intervalul.
Inegalitatea dintre integrale dedusă dintr-o inegalitate adevărată doar în unele puncte ale intervalului.

Termeni-cheie

Diviziune: Δ = (x₀, x₁, …, xₙ) cu a = x₀ < x₁ < … < xₙ = b; norma ‖Δ‖ este cea mai mare lungime xᵢ − xᵢ₋₁.
Puncte intermediare: Numere ξᵢ ∈ [xᵢ₋₁, xᵢ], câte unul pentru fiecare subinterval al diviziunii.
Sumă Riemann: σ_Δ(f, ξ) = f(ξ₁)(x₁ − x₀) + f(ξ₂)(x₂ − x₁) + … + f(ξₙ)(xₙ − xₙ₋₁).
Funcție integrabilă: f: [a, b] → ℝ este integrabilă dacă există I ∈ ℝ astfel încât sumele Riemann tind la I pentru orice șir de diviziuni cu norma tinzând la 0 și orice puncte intermediare; I = ∫ₐᵇ f(x) dx.
Formula Leibniz–Newton: Dacă f: [a, b] → ℝ este integrabilă și admite primitiva F, atunci ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a).
Aditivitate: Pentru a < c < b: ∫ₐᵇ f = ∫ₐᶜ f + ∫꜀ᵇ f.
Monotonie: Dacă f(x) ≤ g(x) pe [a, b], atunci ∫ₐᵇ f ≤ ∫ₐᵇ g; în particular f ≥ 0 implică ∫ₐᵇ f ≥ 0.
Teorema de medie: Dacă f este continuă pe [a, b], există c ∈ [a, b] cu ∫ₐᵇ f(x) dx = (b − a)·f(c).
Integrabilitatea funcțiilor continue: Orice funcție continuă pe [a, b] este integrabilă pe [a, b].

Notițele mele

Salvat local

Surse

Programa de examen Matematică M_mate-info, Bacalaureat 2015 (Anexa 2 la OMEN 4430/2014), clasa a XII-a, Integrala definită
BAC 2020, sesiunea iunie, varianta 6, Subiectul al III-lea, 2.a (subiect și barem)
BAC 2021, sesiunea august, varianta 4, Subiectul al III-lea, 2.a (subiect și barem)
BAC 2022, model, Subiectul al III-lea, 2.a (subiect și barem)
BAC 2020, model, Subiectul al III-lea, 2.a
BAC 2026, sesiunea iunie-iulie, varianta 3, Subiectul al III-lea, 2.a (subiect și barem)
BAC 2023, simulare, Subiectul al III-lea, 2.c; BAC 2025, model, Subiectul al III-lea, 2.c