Numărul de soluții ale unei ecuații și reprezentarea grafică a funcțiilor

Discutați numărul de soluții reale ale ecuației $x^3-3x=m$, $m\in \mathbb{R}$.

$f(x)=x^3-3x$, $f^{\prime }(x)=3(x-1)(x+1)$.

• $m\in (-2,2)$: câte o soluție pe fiecare din cele trei intervale, deci trei soluții;
• $m=2$ sau $m=-2$: două soluții (una dintre ele este punctul de extrem);
• $m>2$ sau $m<-2$: o soluție.

$f(x)=x^4-2-4\ln x$, $x>0$; din b), $f$ este descrescătoare pe $(0,1]$ și crescătoare pe $[1,+\infty )$. Demonstrați că ecuația $f(x)=0$ are exact două soluții distincte în $(0,+\infty )$.

Limitele la capete: $f(x)\to +\infty$ când $x\to 0$, $x>0$ (din $-4\ln x\to +\infty$) și $f(x)\to +\infty$ când $x\to +\infty$ (2p).

$f(1)=-1$, $f$ este continuă, strict descrescătoare pe $(0,1)$ și strict crescătoare pe $(1,+\infty )$. Pe $(0,1)$, $f$ ia valorile din $(-1,+\infty )$, deci ia valoarea 0 exact o dată; la fel pe $(1,+\infty )$. Ecuația $f(x)=0$ are exact două soluții distincte (3p).

$f(x)=\sqrt{x^4-x^2+1}$, cu $f^{\prime }(x)$ de la a). Demonstrați că, pentru orice $m$ din intervalul de la $\sqrt{3}/2$ la 1 (capete excluse), ecuația $f(x)=m$ are exact patru soluții reale.

$f^{\prime }(x)=0\iff x\in \{-1/\sqrt{2},0,1/\sqrt{2}\}$; limitele la $\pm \infty$ sunt $+\infty$. $f$ este strict descrescătoare pe $(-\infty ,-1/\sqrt{2})$ și pe $(0,1/\sqrt{2})$, strict crescătoare pe $(-1/\sqrt{2},0)$ și pe $(1/\sqrt{2},+\infty )$ (3p).

Pe fiecare dintre cele patru intervale de strictă monotonie, $f$ este continuă și trece de la o valoare mai mică decât $m$ la una mai mare (sau invers), deci ecuația are câte o soluție pe fiecare: exact patru soluții (2p).

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^3-4x}{x^2+5}$, $f^{\prime }(x)=\frac{(x^2-1)(x^2+20)}{(x^2+5{)}^2}$. Determinați mulțimea numerelor reale $m$ pentru care ecuația $f(x)=m$ are exact trei soluții.

$f^{\prime }(x)=0\iff x\in \{-1,1\}$; $f^{\prime }>0$ pe $(-\infty ,-1)$ și pe $(1,+\infty )$, $f^{\prime }<0$ pe $(-1,1)$: $f$ strict crescătoare, strict descrescătoare, apoi strict crescătoare (2p).

${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-\infty$, $f(-1)=\frac{1}{2}$, $f(1)=-\frac{1}{2}$, ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$, iar $f$ este continuă. Pe fiecare dintre cele trei intervale, $f$ ia o valoare $m$ cel mult o dată, și o ia pe toate trei exact când $m$ este strict între $-\frac{1}{2}$ și $\frac{1}{2}$: mulțimea căutată este $\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$ (3p).

$f:(1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{4x^3}{(x-1{)}^2}$, $f^{\prime }(x)=\frac{4x^2(x-3)}{(x-1{)}^3}$. Arătați că ecuația $f(x)=m$ are exact două soluții, pentru orice $m\in (27,+\infty )$.

$f^{\prime }(x)=0\iff x=3$; $f$ este strict descrescătoare pe $(1,3]$ și strict crescătoare pe $[3,+\infty )$, cu $f(3)=\frac{108}{4}=27$. Limitele: $f(x)\to +\infty$ când $x\to 1$, $x>1$, și când $x\to +\infty$. Cum $f$ este continuă, pentru $m>27$ ecuația are exact o soluție în $(1,3)$ și exact una în $(3,+\infty )$: exact două soluții.

$f(x)=(x+6)\sqrt{x^2+4}$ este strict crescătoare pe $(-\infty ,-2]$, strict descrescătoare pe $[-2,-1]$, strict crescătoare pe $[-1,+\infty )$ (de la b)). Demonstrați că ecuația $f(x)=m$ are soluție unică, pentru orice număr întreg $m$.

${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-\infty$, $f(-2)=4\sqrt{8}=\sqrt{128}$, $f(-1)=5\sqrt{5}=\sqrt{125}$, ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$, $f$ continuă. Mai mult de o soluție poate apărea doar pentru $m\in [\sqrt{125},\sqrt{128}]$, dar $11<\sqrt{125}<\sqrt{128}<12$, deci acest interval nu conține numere întregi (3p). Pentru orice întreg $m$, ecuația are soluție unică (2p).

Pentru $x>0$: $\ln x=ax\iff a=g(x)$, cu $g(x)=\ln x/x$. $g^{\prime }(x)=(1-\ln x)/x^2$: $g$ crește pe $(0,e]$, scade pe $[e,+\infty )$, maximul $g(e)=1/e$; $g\to -\infty$ când $x\to 0$ și $g\to 0$ (cu valori pozitive) la $+\infty$.

• $a\le 0$: o soluție (pe $(0,1]$);
• $0<a<1/e$: două soluții;
• $a=1/e$: o soluție ($x=e$);
• $a>1/e$: nicio soluție.