Șiruri de integrale și limite de șiruri calculate cu integrala

Punctul c) de la Subiectul al III-lea: încadrarea integrandului și criteriul cleștelui, monotonia și mărginirea șirului Iₙ, relații de recurență prin părți și limite de sume calculate ca sume Riemann.

28 min
La BAC: Subiectul al III-lea (2)
Verificat pe bareme

Ilustrație generată pentru ZECE (artistică, nu o planșă științifică: pentru detalii exacte vezi schemele din lecție).

ții minte doar fișa asta și ești acoperit

Fișa de aur

01
Tiparul punctului c): încadrezi integrandul pe interval, integrezi inegalitățile, aplici criteriul cleștelui.
02
Pe [0, 1]: 0 ≤ xⁿ·g(x) ≤ xⁿ·M (dacă 0 ≤ g ≤ M), iar ∫₀¹ xⁿ dx = 1/(n + 1) → 0.
Truc: xⁿ „turtește” totul spre 0 pe [0, 1), deci integrala dispare.
03
Pentru Iₙ = ∫ fⁿ: dacă 0 ≤ f ≤ q < 1, atunci 0 ≤ Iₙ ≤ qⁿ(b − a) → 0; dacă f ≥ q > 1, Iₙ → +∞.
04
Recurențe: prin părți, de exemplu ∫₀¹ xⁿ·eˣ dx = e − n·∫₀¹ xⁿ⁻¹·eˣ dx.
05
Sume Riemann: (1/n)·Σ f(k/n) → ∫₀¹ f(x) dx. Recunoști f scoțind n factor comun.

1 din 6

Pe scurt

2 minesențialul, de recitit oricând

Culorile din lecție:termenidee-cheie

La c) șirul $I_{n}$ se încadrează, nu se calculează: inegalități pentru integrand, integrate pe interval (monotonia integralei), apoi criteriul cleștelui.
Pe $[0, 1]$ : $\int_{0}^{1} x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} \to 0$ .
$I_{n} = \int f^{n}$ : dacă $0 \leq f \leq q < 1$ , $I_{n} \to 0$ ; dacă $f \geq q > 1$ , $I_{n} \to + \infty$ .
Recurențe prin părți; monotonia lui $I_{n}$ din compararea integranzilor.
Sume Riemann: $\frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} f (\frac{k}{n}) \to \int_{0}^{1} f (x) d x$ .

Încadrare și criteriul cleștelui

7 min

Din monotonia integralei: dacă $g_{n} (x) \leq f_{n} (x) \leq h_{n} (x)$ pe $[a, b]$ , atunci

\int_{a}^{b} g_{n} (x) d x \leq I_{n} \leq \int_{a}^{b} h_{n} (x) d x,

iar dacă marginile au aceeași limită $ℓ$ , atunci $n \to \infty lim I_{n} = ℓ$ .

Încadrezi integrandul
Pe intervalul dat: semnul ( $\geq 0$ ), apoi o margine superioară simplă (de obicei $x^{n}$ sau $q^{n}$ ).
Integrezi inegalitățile
Monotonia integralei; calculezi integralele marginilor.
Treci la limită
Criteriul cleștelui (sau, pentru $+ \infty$ , criteriul minorării).

BAC iunie 2020, varianta 6, III.2.c

I_{n} = \int_{0}^{1} f (x^{n}) d x = \int_{0}^{1} \frac{x ^{n}}{x ^{3 n} + 1} d x .

Pentru $x \in [0, 1]$ și $n \geq 1$ : $x^{3 n} + 1 \geq 1$ , deci $0 \leq \frac{x ^{n}}{x ^{3 n} + 1} \leq x^{n}$ . Integrând:

0 \leq I_{n} \leq \int_{0}^{1} x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} .

Cum $\frac{1}{n + 1} \to 0$ , din criteriul cleștelui $n \to \infty lim I_{n} = 0$ .

Barem oficial: încadrarea 3p, concluzia 2p.

Aria de sub xⁿ dispare

n = 3

Aria colorată este ∫₀¹ xⁿ dx = 1/(n + 1), marginea superioară din încadrare. Mărește n: aria tinde la 0, deci și Iₙ, prins între 0 și ea.

BAC august 2020, varianta 3, III.2.c

$f (x) = 1 - \frac{2 x}{x ^{2} + 3} - \frac{2}{x ^{2} + 3}$ , $I_{n} = \int_{0}^{1} f^{n} (x) d x$ . Derivata este

f^{'} (x) = \frac{2 ( x - 1 ) ( x + 3 )}{( x ^{2} + 3 ) ^{2}} \leq 0 pe [0, 1],

deci $f$ este descrescătoare pe $[0, 1]$ și $f (1) \leq f (x) \leq f (0)$ , adică $0 \leq f (x) \leq \frac{1}{3}$ .

0 \leq I_{n} \leq \int_{0}^{1} (\frac{1}{3})^{n} d x = (\frac{1}{3})^{n} \to 0,

deci $n \to \infty lim I_{n} = 0$ .

BAC 2021, model, III.2.c (limită infinită)

$f (x) = \frac{2 ( x + 3 )}{x ^{2} + 4 x + 5}$ , $0 \leq a < b$ , $I_{n} = \int_{a}^{b} f^{n} (x) d x$ .

f^{2} (x) - 4 = \frac{4 ( 2 x + 4 )}{x ^{2} + 4 x + 5} \geq 0 ș i f (x) \geq 0 pe [0, + \infty) \Rightarrow f (x) \geq 2.

Deci $f^{n} (x) \geq 2^{n}$ pe $[a, b]$ și $I_{n} \geq 2^{n} (b - a)$ . Cum $b - a > 0$ și $2^{n} \to + \infty$ , $n \to \infty lim I_{n} = + \infty$ .

Monotonie, mărginire, recurențe

7 min o întrebare la final

Dacă $f \geq 0$ pe $[0, 1]$ , șirul $I_{n} = \int_{0}^{1} x^{n} f (x) d x$ este descrescător ( $x^{n + 1} \leq x^{n}$ ) și mărginit inferior de 0, deci convergent.
Recurențe prin părți: pentru $I_{n} = \int_{0}^{1} x^{n} e^{x} d x$ ,

I_{n} = x^{n} e^{x}_{0}^{1} - n \int_{0}^{1} x^{n - 1} e^{x} d x = e - n I_{n - 1}, n \geq 1, I_{0} = e - 1.

Exercițiu de tip BAC: șir definit prin recurență

$I_{n} = \int_{0}^{1} x^{n} e^{x} d x$ , $n \in N$ .

a) $I_{1} = e - 1 \cdot I_{0} = e - (e - 1) = 1$ .

b) Pe $[0, 1]$ : $0 \leq x^{n} e^{x} \leq e x^{n}$ , deci $0 \leq I_{n} \leq \frac{e}{n + 1}$ și $n \to \infty lim I_{n} = 0$ .

c) Din recurență, $(n + 1) I_{n} = e - I_{n + 1}$ . Cum $I_{n + 1} \to 0$ , obținem $n \to \infty lim n I_{n} = n \to \infty lim (n + 1) I_{n} = e$ (pentru că $I_{n} \to 0$ ).

BAC 2024, model, III.2.c (relație între termeni)

$f (x) = \frac{x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$ , $I_{n} = \int_{0}^{1} x^{n} x f (x) d x$ . Arătați că $I_{n} - I_{n + 4} = \frac{2}{( n + 2 ) ( n + 4 )}$ .

Pe $[0, 1]$ , $x f (x) = \frac{x}{x ^{2} + 1}$ , deci $I_{n} = \int_{0}^{1} \frac{x ^{n + 1}}{x ^{2} + 1} d x$ . Cum $1 - x^{4} = (1 - x^{2}) (1 + x^{2})$ :

I_{n} - I_{n + 4} = \int_{0}^{1} \frac{x ^{n + 1} ( 1 - x ^{4} )}{x ^{2} + 1} d x = \int_{0}^{1} (x^{n + 1} - x^{n + 3}) d x = \frac{1}{n + 2} - \frac{1}{n + 4} = \frac{2}{( n + 2 ) ( n + 4 )} .

Barem oficial: forma lui $I_{n}$ 2p; diferența și calculul 3p.

BAC 2025, sesiunea specială, varianta 3, III.2.c (combinație și majorare)

$f (x) = \frac{x + 4}{e ^{x}}$ , $I_{n} = \int_{0}^{1} \frac{x ^{n}}{f ( x )} d x = \int_{0}^{1} \frac{x ^{n} e ^{x}}{x + 4} d x$ . Arătați că $I_{n + 1} + 4 I_{n} \leq \frac{e}{n + 1}$ .

I_{n + 1} + 4 I_{n} = \int_{0}^{1} \frac{( x ^{n + 1} + 4 x ^{n} ) e ^{x}}{x + 4} d x = \int_{0}^{1} x^{n} e^{x} d x \leq e \int_{0}^{1} x^{n} d x = \frac{e}{n + 1},

pentru că $e^{x} \leq e$ pe $[0, 1]$ . Barem oficial: $I_{n + 1} + 4 I_{n} = \int_{0}^{1} x^{n} e^{x} d x$ 2p; majorarea 3p.

Pentru Iₙ = ∫₀¹ xⁿ·eˣ dx, ce recurență obții prin părți?

Limite de sume calculate ca sume Riemann

2 min 2 întrebări la final

Dacă $f$ este continuă pe $[0, 1]$ , cu diviziunea echidistantă $x_{k} = \frac{k}{n}$ și punctele intermediare $ξ_{k} = \frac{k}{n}$ :

n \to \infty lim \frac{1}{n} k = 1 \sum n f (\frac{k}{n}) = \int_{0}^{1} f (x) d x .

Exercițiu de tip BAC: trei limite de sume

a) $\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \dots + \frac{1}{2 n} = \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{1 + \frac{k}{n}}$ , deci limita este $\int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + x} = ln 2$ .

b) $\sum_{k = 1}^{n} \frac{n}{n ^{2} + k ^{2}} = \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{1 + ( \frac{k}{n} ) ^{2}}$ , deci limita este $\int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + x ^{2}} = arctg 1 = \frac{π}{4}$ .

c) $\frac{1 ^{2} + 2 ^{2} + \dots + n ^{2}}{n ^{3}} = \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} (\frac{k}{n})^{2}$ , deci limita este $\int_{0}^{1} x^{2} d x = \frac{1}{3}$ .

Suma devine integrală

n = 5

Exemplul a): (1/n)·Σ f(k/n) cu f(x) = 1/(1 + x) este aria dreptunghiurilor. Mărește n: aria lor se apropie de ∫₀¹ dx/(1 + x) = ln 2.

Cât este limita lui 1/(n + 1) + 1/(n + 2) + … + 1/(2n)?

Model 2021, c): de ce ∫ₐᵇ fⁿ(x) dx → +∞?

Ce se cere la BAC

9 mincum apare la examen

Punctul c) de la III.2 este, în toate subiectele M_mate-info 2020–2022 din arhivă, un șir de integrale sau o integrală mai grea:

Iunie 2020, v6

Șirul

\int_{0}^{1} f (x^{n}) d x

Încadrarea din barem

0 \leq I_{n} \leq \frac{1}{n + 1}

Limita

August 2020, v3

Șirul

\int_{0}^{1} f^{n} (x) d x

Încadrarea din barem

0 \leq I_{n} \leq (\frac{1}{3})^{n}

Limita

Specială 2020, v1

Șirul

\int_{- 1}^{1} x^{2 n - 1} f (x) d x

Încadrarea din barem

0 \leq I_{n} \leq \frac{1}{2 ( 2 n + 1 )}

Limita

Model 2020

Șirul

\int_{1}^{2} x^{n} f (x) d x

Încadrarea din barem

I_{n} \leq \frac{1}{8} \int_{1}^{2} x^{n} (x^{2} - 4) d x

Limita

- \infty

Model 2021

Șirul

\int_{a}^{b} f^{n} (x) d x

Încadrarea din barem

I_{n} \geq 2^{n} (b - a)

Limita

+ \infty

1 / 5

Subiect	Șirul	Încadrarea din barem	Limita
Iunie 2020, v6	$\int_{0}^{1} f (x^{n}) d x$	$0 \leq I_{n} \leq \frac{1}{n + 1}$	0
August 2020, v3	$\int_{0}^{1} f^{n} (x) d x$	$0 \leq I_{n} \leq (\frac{1}{3})^{n}$	0
Specială 2020, v1	$\int_{- 1}^{1} x^{2 n - 1} f (x) d x$	$0 \leq I_{n} \leq \frac{1}{2 ( 2 n + 1 )}$	0
Model 2020	$\int_{1}^{2} x^{n} f (x) d x$	$I_{n} \leq \frac{1}{8} \int_{1}^{2} x^{n} (x^{2} - 4) d x$	$- \infty$
Model 2021	$\int_{a}^{b} f^{n} (x) d x$	$I_{n} \geq 2^{n} (b - a)$	$+ \infty$

În 2023–2026 șirurile de integrale au fost mai rare la c) (locul lor l-au luat ariile, volumele și limitele cu integrale) și au cerut relații sau inegalități, nu limite:

Model 2024

Șirul

\int_{0}^{1} \frac{x ^{n + 1}}{x ^{2} + 1} d x

Ce se cere

I_{n} - I_{n + 4} = \frac{2}{( n + 2 ) ( n + 4 )}

Ideea

1 - x^{4} = (1 - x^{2}) (1 + x^{2})

Simulare 2024

Șirul

\int_{0}^{1} \frac{x ^{n - 1} e ^{x^{n}}}{x ^{n} + 1} d x

Ce se cere

\frac{l n 2}{n} \leq I_{n} \leq \frac{e - 1}{n}

Ideea

t = x^{n}

Simulare 2025

Șirul

\int_{0}^{1} x^{n} (2 + e^{- x}) d x

Ce se cere

(n + 1) I_{n} - I_{n + 1} = \frac{2 ( n + 1 )}{n + 2} + \frac{1}{e}

Ideea

prin părți

Specială 2025

Șirul

\int_{0}^{1} \frac{x ^{n} e ^{x}}{x + 4} d x

Ce se cere

I_{n + 1} + 4 I_{n} \leq \frac{e}{n + 1}

Ideea

e^{x} \leq e

Iunie 2025 rezervă

Șirul

\int_{1}^{e^{2}} \frac{x l n ^{n} x}{1 + l n ^{2} x} d x

Ce se cere

I_{n + 2} + I_{n} \leq 2^{n - 1} (e^{4} - 1)

Ideea

ln x \leq 2

1 / 5

Subiect	Șirul	Ce se cere	Ideea
Model 2024	$\int_{0}^{1} \frac{x ^{n + 1}}{x ^{2} + 1} d x$	$I_{n} - I_{n + 4} = \frac{2}{( n + 2 ) ( n + 4 )}$	$1 - x^{4} = (1 - x^{2}) (1 + x^{2})$
Simulare 2024	$\int_{0}^{1} \frac{x ^{n - 1} e ^{x^{n}}}{x ^{n} + 1} d x$	$\frac{l n 2}{n} \leq I_{n} \leq \frac{e - 1}{n}$	$t = x^{n}$
Simulare 2025	$\int_{0}^{1} x^{n} (2 + e^{- x}) d x$	$(n + 1) I_{n} - I_{n + 1} = \frac{2 ( n + 1 )}{n + 2} + \frac{1}{e}$	prin părți
Specială 2025	$\int_{0}^{1} \frac{x ^{n} e ^{x}}{x + 4} d x$	$I_{n + 1} + 4 I_{n} \leq \frac{e}{n + 1}$	$e^{x} \leq e$
Iunie 2025 rezervă	$\int_{1}^{e^{2}} \frac{x l n ^{n} x}{1 + l n ^{2} x} d x$	$I_{n + 2} + I_{n} \leq 2^{n - 1} (e^{4} - 1)$	$ln x \leq 2$

Greșeli care costă puncte

1 mincapcanele de evitat

„Limita trece sub integrală” fără justificare.
Încadrarea doar superioară (lipsește $I_{n} \geq 0$ ).
Inegalitatea integrandului demonstrată doar într-un punct sau pe alt interval decât cel de integrare.
Suma Riemann cu factorul $\frac{1}{n}$ uitat sau cu $f$ greșit identificată.
Recurența aplicată pentru $n = 0$ când a fost dedusă pentru $n \geq 1$ .

Termeni-cheie

Șir de integrale: Șir de forma Iₙ = ∫ₐᵇ fₙ(x) dx, de exemplu ∫₀¹ xⁿ·f(x) dx sau ∫₀¹ fⁿ(x) dx.
Încadrare prin monotonia integralei: Dacă gₙ(x) ≤ fₙ(x) ≤ hₙ(x) pe [a, b], atunci ∫ gₙ ≤ Iₙ ≤ ∫ hₙ; cu limite egale ale marginilor, criteriul cleștelui dă lim Iₙ.
Integrala lui xⁿ pe [0, 1]: ∫₀¹ xⁿ dx = 1/(n + 1), care tinde la 0.
Monotonia șirului Iₙ: Pe [0, 1], xⁿ⁺¹ ≤ xⁿ, deci pentru f ≥ 0 șirul ∫₀¹ xⁿ·f(x) dx este descrescător.
Relație de recurență: Legătură între Iₙ și Iₙ₋₁ obținută de obicei prin părți; de exemplu, pentru Iₙ = ∫₀¹ xⁿ·eˣ dx: Iₙ = e − n·Iₙ₋₁.
Limită ca sumă Riemann: Pentru f continuă pe [0, 1]: lim (1/n)·[f(1/n) + f(2/n) + … + f(n/n)] = ∫₀¹ f(x) dx.
Șir care tinde la infinit: Dacă fₙ(x) ≥ cₙ pe [a, b] și cₙ → +∞, atunci Iₙ ≥ cₙ(b − a) → +∞.

Notițele mele

Salvat local

Surse

Programa de examen Matematică M_mate-info, Bacalaureat 2015 (Anexa 2 la OMEN 4430/2014), clasa a XII-a, Aplicații ale integralei definite
BAC 2020, sesiunea iunie, varianta 6, Subiectul al III-lea, 2.c (subiect și barem)
BAC 2020, sesiunea august, varianta 3, Subiectul al III-lea, 2.c (subiect și barem)
BAC 2021, model, Subiectul al III-lea, 2.c (subiect și barem)
BAC 2020, sesiunea specială, varianta 1, Subiectul al III-lea, 2.c
BAC 2020, model, Subiectul al III-lea, 2.c
BAC 2024, model, Subiectul al III-lea, 2.c (subiect și barem)
BAC 2025, sesiunea specială, varianta 3, Subiectul al III-lea, 2.c (subiect și barem)
BAC 2024 simulare, BAC 2025 simulare, BAC 2025 iunie rezervă v5: Subiectul al III-lea, 2.c