Rolul derivatei a doua: convexitate, concavitate, puncte de inflexiune

Funcții convexe și concave din semnul derivatei a doua, puncte de inflexiune, interpretarea geometrică (graficul față de tangente) și inegalitatea graficului cu tangenta.

20 min
La BAC: Subiectul al III-lea (1) · Subiectul al III-lea (2), cerința b)
Verificat pe bareme

Ilustrație generată pentru ZECE (artistică, nu o planșă științifică: pentru detalii exacte vezi schemele din lecție).

ții minte doar fișa asta și ești acoperit

Fișa de aur

01
f″ ≥ 0 ⇒ convexă (∪); f″ ≤ 0 ⇒ concavă (∩), pe un interval.
Truc: Convexă = „zâmbet”, derivata a doua pozitivă ca o veste bună.
02
Inflexiune: f″ se anulează și își schimbă semnul, iar f e continuă și are tangentă acolo. Punctul se scrie cu ambele coordonate: (x₀, f(x₀)).
03
Convexă ⇒ graficul e deasupra tangentelor. De aici: eˣ ≥ x + 1 (tangenta în 0).
04
La primitive (III.2.b): F″ = f′, deci convexitatea lui F se citește din semnul lui f′.
05
f″(x₀) = 0 fără schimbare de semn nu dă inflexiune (x⁴ în 0).

1 din 6

Pe scurt

2 minesențialul, de recitit oricând

Culorile din lecție:termenidee-cheie

$f$ de două ori derivabilă pe un interval $I$ : $f^{''} \geq 0$ pe $I$ $\Rightarrow$ convexă; $f^{''} \leq 0$ $\Rightarrow$ concavă.
Punct de inflexiune: $f$ continuă, cu tangentă, și își schimbă convexitatea; practic, $f^{''}$ se anulează și schimbă semnul.
Geometric: convexă $\Rightarrow$ graficul deasupra tangentelor; concavă $\Rightarrow$ dedesubt.
La primitive: $F^{''} = f^{'}$ .

Convexitate și concavitate

6 min 2 întrebări la final

Criteriul folosit la BAC (prin derivata a doua). În manual, definiția este geometrică: $f$ este convexă pe intervalul $I$ dacă graficul se află sub orice coardă cu capetele pe grafic, și concavă dacă se află deasupra. Pentru $f : I \to R$ de două ori derivabilă pe intervalul $I$ :

Dacă $f^{''} (x) \geq 0$ pentru orice $x \in I$ , $f$ este convexă pe $I$ .
Dacă $f^{''} (x) \leq 0$ pentru orice $x \in I$ , $f$ este concavă pe $I$ .

De ce: $f^{''} \geq 0$ înseamnă că $f^{'}$ este crescătoare, deci pantele tangentelor cresc de la stânga la dreapta, iar graficul se curbează în sus.

Interpretare geometrică. Dacă $f$ este convexă și derivabilă pe $I$ , atunci pentru orice $x_{0} \in I$ :

f (x) \geq f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}), pentru orice x \in I

adică graficul este deasupra tangentei. Pentru funcție concavă, inegalitatea se inversează. Exemplu: $f (x) = e^{x}$ are $f^{''} = e^{x} > 0$ , deci este convexă, iar tangenta în 0 este $y = x + 1$ ; rezultă $e^{x} \geq x + 1$ pentru orice $x$ real.

Ce semn are f″ pe un interval de convexitate?

Unde e graficul unei funcții convexe față de tangentele lui?

Puncte de inflexiune

6 min o întrebare la final

Definiție. $x_{0}$ este punct de inflexiune al lui $f$ dacă $f$ este continuă în $x_{0}$ , graficul are tangentă în $(x_{0}, f (x_{0}))$ (derivată finită sau infinită) și $f$ este convexă de o parte a lui $x_{0}$ și concavă de cealaltă (pe intervale vecine).

În practică: rezolvi $f^{''} (x) = 0$ și păstrezi doar zerourile în care $f^{''}$ își schimbă semnul. Punctul de inflexiune se scrie $(x_{0}, f (x_{0}))$ .

Exemplul 1. Polinom de gradul 3

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 1$ : $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x$ , $f^{''} (x) = 6 x - 12$ .

$f^{''} (x) \leq 0$ pe $(- \infty, 2]$ , deci $f$ este concavă pe $(- \infty, 2]$ ; $f^{''} (x) \geq 0$ pe $[2, + \infty)$ , deci convexă pe $[2, + \infty)$ . $f^{''}$ schimbă semnul în 2, iar $f (2) = 8 - 24 + 1 = - 15$ : punctul de inflexiune este $(2, - 15)$ .

Tangenta traversează graficul în inflexiune

x₀ = 4,5panta = 6,75

În jurul punctului de tangență, graficul stă sub tangentă pentru x₀ mai mic decât 2 (concavă) și deasupra ei pentru x₀ mai mare decât 2 (convexă). În (2, −15) tangenta traversează graficul.

Exemplul 2. Produs cu exponențiala

$f (x) = x e^{x}$ : $f^{'} (x) = (x + 1) e^{x}$ , $f^{''} (x) = (x + 2) e^{x}$ . Cum $e^{x} > 0$ , semnul lui $f^{''}$ este semnul lui $x + 2$ : $f$ concavă pe $(- \infty, - 2]$ , convexă pe $[- 2, + \infty)$ , inflexiune în $(- 2, - 2 e^{- 2})$ .

Exemplul 3. Două puncte de inflexiune

$f (x) = ln (x^{2} + 1)$ :

f^{''} (x) = \frac{2 ( 1 - x ^{2} )}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}

$f^{''} \geq 0$ pe $[- 1, 1]$ (convexă), $f^{''} \leq 0$ pe $(- \infty, - 1]$ și pe $[1, + \infty)$ (concavă). Puncte de inflexiune: $(- 1, ln 2)$ și $(1, ln 2)$ .

Când e x₀ punct de inflexiune?

Convexitatea unei primitive (item oficial)

2 min

Model BAC 2020, III.2.b

$f (x) = \frac{x ^{2} - 4}{x ^{2} + 4}$ . Demonstrați că orice primitivă a funcției $f$ este concavă pe $(- \infty, 0]$ .

Fie $F$ o primitivă a lui $f$ . Atunci $F^{'} (x) = f (x)$ și

F^{''} (x) = f^{'} (x) = \frac{2 x ( x ^{2} + 4 ) - 2 x ( x ^{2} - 4 )}{( x ^{2} + 4 ) ^{2}} = \frac{16 x}{( x ^{2} + 4 ) ^{2}}, x \in R

(3p). Pentru $x \in (- \infty, 0]$ , $F^{''} (x) \leq 0$ , deci $F$ este concavă pe $(- \infty, 0]$ (2p).

Toate derivatele de ordinul al doilea au fost verificate simbolic sau numeric.

Ce se cere la BAC

3 mincum apare la examen

III.2.b: convexitatea/concavitatea unei primitive (model 2020): $F^{''} = f^{'}$ , semnul lui $f^{'}$ .
III.1: intervalele de convexitate, punctele de inflexiune sau o inegalitate obținută din poziția graficului față de o tangentă.
Frecvență: în cele 17 lucrări M_mate-info din 2024–2026 nu a apărut niciun item de convexitate (nici la III.1, nici la III.2); în lucrările mai vechi consultate apare la model 2020 (III.2.b) și la simularea din 2022. Derivata a doua rămâne utilă pentru semnul lui $f^{'}$ (lecția despre inegalități).
Redactare: „ $f^{''} (x) \geq 0$ , pentru orice $x \in I$ , deci $f$ este convexă pe $I$ .”

Greșeli care costă puncte

1 mincapcanele de evitat

Convex/concav inversate.
Inflexiune fără schimbare de semn a lui $f^{''}$ .
Punctul de inflexiune dat doar prin abscisă când se cer coordonatele.
La primitive: confuzia $F^{''} = f^{''}$ (corect: $F^{''} = f^{'}$ ).
Convexitate pe reuniuni de intervale.

Termeni-cheie

Funcție convexă: Pe un interval I, graficul este sub orice coardă cu capetele pe grafic (forma ∪, „ține apa”). Criteriu: f de două ori derivabilă cu f″(x) ≥ 0 pe I ⇒ f convexă.
Funcție concavă: Pe un interval I, graficul este deasupra oricărei coarde cu capetele pe grafic (forma ∩). Criteriu: f de două ori derivabilă cu f″(x) ≤ 0 pe I ⇒ f concavă.
Punct de inflexiune: Punct x₀ în care f este continuă, graficul are tangentă, iar f își schimbă convexitatea (convexă de o parte, concavă de cealaltă).
Condiția practică pentru inflexiune: f″(x₀) = 0 și f″ își schimbă semnul în x₀ (f derivabilă de două ori în jurul lui x₀).
Interpretare geometrică a convexității: O funcție convexă derivabilă are graficul deasupra fiecărei tangente; una concavă, dedesubt.
Derivata a doua: f″ = (f′)′; semnul ei arată dacă f′ crește (convexitate) sau scade (concavitate).

Notițele mele

Salvat local