Ecuația tangentei la graficul unei funcții

Formula tangentei în punctul de abscisă x₀ și variantele de la BAC: tangentă paralelă cu o dreaptă, perpendiculară, paralelă cu Ox, care trece printr-un punct dat și dreaptă paralelă cu tangenta.

20 min
La BAC: Subiectul al III-lea (1)
Verificat pe bareme

Ilustrație generată pentru ZECE (artistică, nu o planșă științifică: pentru detalii exacte vezi schemele din lecție).

ții minte doar fișa asta și ești acoperit

Fișa de aur

01
y − f(x₀) = f′(x₀)(x − x₀). Ai nevoie de două numere: f(x₀) și f′(x₀).
Truc: Punct + pantă = dreaptă, ca la geometria din clasa a X-a.
02
Paralelă cu y = mx + n ⇒ f′(x₀) = m. Perpendiculară ⇒ f′(x₀)·m = −1. Paralelă cu Ox ⇒ f′(x₀) = 0.
03
Când x₀ e necunoscut, condiția din enunț devine o ecuație în x₀; rezolvi, apoi scrii tangenta.
04
Un punct dat aparține tangentei ⇔ coordonatele lui verifică ecuația tangentei.
05
Scrie ecuația finală în forma y = mx + n: baremul o dă de obicei așa.

1 din 6

Pe scurt

1 minesențialul, de recitit oricând

Culorile din lecție:termencifră, datăidee-cheie

Tangenta în punctul de abscisă $x_{0}$ : $y - f (x_{0}) = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$ .
Pentru o condiție pe tangentă: paralelă ( $f^{'} (x_{0}) = m$ ), perpendiculară ( $f^{'} (x_{0}) \cdot m = - 1$ ), orizontală ( $f^{'} (x_{0}) = 0$ ).
Punct pe tangentă: coordonatele lui verifică ecuația.
Tangentă printr-un punct exterior graficului: necunoscuta este $x_{0}$ .
Ecuația finală se scrie, de obicei, $y = m x + n$ .

Formula și interpretarea

1 min

Dacă $f$ este derivabilă în $x_{0}$ , tangenta la graficul lui $f$ în punctul $A (x_{0}, f (x_{0}))$ este dreapta care trece prin $A$ și are panta $f^{'} (x_{0})$ :

y - f (x_{0}) = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})

Exemplul 1. Tangenta într-un punct dat

$f (x) = x^{3} - 3 x$ , $x_{0} = 2$ . $f (2) = 8 - 6 = 2$ , $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3$ , $f^{'} (2) = 9$ .

y - 2 = 9 (x - 2) ⟺ y = 9 x - 16

Tangenta se mută odată cu punctul

x₀ = 2panta = 2

Mută cursorul: panta tangentei este f′(x₀) = 2x₀ − 2. La x₀ = 1 panta e 0 și tangenta e paralelă cu Ox.

Condiții pe tangentă

6 min 2 întrebări la final

tangentă paralelă cu

y = m x + n

Condiția

f^{'} (x_{0}) = m

Necunoscuta

x_{0}

tangentă perpendiculară pe

y = m x + n

(

m \neq = 0

)

Condiția

f^{'} (x_{0}) = - 1/ m

Necunoscuta

x_{0}

tangentă paralelă cu

O x

Condiția

f^{'} (x_{0}) = 0

Necunoscuta

x_{0}

tangenta trece prin

P (a, b)

Condiția

b - f (x_{0}) = f^{'} (x_{0}) (a - x_{0})

Necunoscuta

x_{0}

sau un parametru

punctul

P

este pe tangenta din

x_{0}

dat

Condiția

coordonatele lui

P

verifică ecuația

Necunoscuta

parametrul din

P

1 / 5

Cerința	Condiția	Necunoscuta
tangentă paralelă cu $y = m x + n$	$f^{'} (x_{0}) = m$	$x_{0}$
tangentă perpendiculară pe $y = m x + n$ ( $m \neq = 0$ )	$f^{'} (x_{0}) = - 1/ m$	$x_{0}$
tangentă paralelă cu $O x$	$f^{'} (x_{0}) = 0$	$x_{0}$
tangenta trece prin $P (a, b)$	$b - f (x_{0}) = f^{'} (x_{0}) (a - x_{0})$	$x_{0}$ sau un parametru
punctul $P$ este pe tangenta din $x_{0}$ dat	coordonatele lui $P$ verifică ecuația	parametrul din $P$

Exemplul 2. Tangentă paralelă cu o dreaptă

Determinați tangenta la graficul lui $f (x) = ln x$ , $x > 0$ , paralelă cu dreapta $y = 2 x + 1$ .

$f^{'} (x_{0}) = 1/ x_{0} = 2$ , deci $x_{0} = 1/2$ și $f (1/2) = - ln 2$ .

y + ln 2 = 2 (x - \frac{1}{2}) ⟺ y = 2 x - 1 - ln 2

Exemplul 3. Tangentă perpendiculară

Tangenta la $f (x) = x^{2}$ perpendiculară pe dreapta $y = - \frac{1}{2} x + 3$ : panta cerută este $m$ cu $m \cdot (- \frac{1}{2}) = - 1$ , deci $m = 2$ . Din $f^{'} (x_{0}) = 2 x_{0} = 2$ : $x_{0} = 1$ , $f (1) = 1$ , tangenta $y = 2 x - 1$ .

Exemplul 4. Tangentă printr-un punct exterior

Determinați tangenta la graficul lui $f (x) = e^{x}$ care trece prin $O (0, 0)$ .

Tangenta în $x_{0}$ : $y = e^{x_{0}} (x - x_{0}) + e^{x_{0}}$ . Punând $O$ : $0 = e^{x_{0}} (1 - x_{0})$ , iar $e^{x_{0}} > 0$ , deci $x_{0} = 1$ și tangenta este $y = e x$ .

Ce condiție dă „tangenta este paralelă cu dreapta y = 2x + 1”?

Ce condiție dă „tangenta este paralelă cu axa Ox”?

Itemi oficiali rezolvați

8 min o întrebare la final

BAC 2020, sesiunea specială, varianta 1, III.1.b

$f (x) = x^{4} - x^{2} + 1$ , cu $f^{'} (x)$ de la a). Determinați ecuația tangentei în punctul de abscisă $x = 1$ .

$f (1) = 1 - 1 + 1 = 1$ , $f^{'} (1) = 1 \cdot (2 - 1) / 1 = 1$ (2p).

Ecuația tangentei: $y - f (1) = f^{'} (1) (x - 1)$ , adică y = x (3p).

BAC 2020, august, varianta 3, III.1.b

$f (x) = 6^{x} - 3^{x} + 2^{x}$ , cu $f^{'} (0) = ln 4$ (de la a)). Determinați $a$ real pentru care punctul $A (a, ln (16 e))$ este situat pe tangenta în punctul de abscisă $x = 0$ .

$f (0) = 1$ , deci tangenta este $y - 1 = ln 4 \cdot x$ , adică $y = x ln 4 + 1$ (3p).

$A$ pe tangentă: $ln (16 e) = a ln 4 + 1$ . Cum $ln (16 e) = ln 16 + 1 = 2 ln 4 + 1$ , obținem a = 2 (2p).

Model BAC 2020, III.1.b

$f (x) = x^{2} - 8 x + 8 ln x + 12 - 8 ln 2$ , cu $f^{'} (x) = 2 (x - 2)^{2} / x$ . Determinați ecuația dreptei care trece prin $A (3, 3)$ și este paralelă cu tangenta la grafic în punctul de abscisă $x = 2$ .

Dreapta are panta egală cu $f^{'} (2)$ (2p). Cum $f^{'} (2) = 0$ , dreapta prin $A (3, 3)$ cu panta 0 este y = 3 (3p).

Atenție: se cere dreapta prin $A$ , nu tangenta. Tangenta însăși este $y = f (2) = 0$ .

BAC 2026, sesiunea specială, varianta 2, III.1.b

$f : (- 1, + \infty) \to R$ , $f (x) = \frac{e ^{x} + 2 x + 1}{x + 1}$ , cu $f^{'} (x) = \frac{x e ^{x} + 1}{( x + 1 ) ^{2}}$ . Determinați ecuația tangentei în punctul de abscisă $x = 0$ .

$f (0) = \frac{1 + 0 + 1}{1} = 2$ , $f^{'} (0) = \frac{0 + 1}{1} = 1$ (2p). Tangenta: $y - 2 = 1 \cdot (x - 0)$ , adică y = x + 2 (3p).

Model BAC 2026, III.1.b. Tangentă paralelă cu Ox

$f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = x + ln^{2} x - x ln x$ , cu $f^{'} (x) = \frac{( 2 - x ) ln x}{x}$ . Determinați abscisele punctelor graficului în care tangenta este paralelă cu axa $O x$ .

Tangenta în $A (a, f (a))$ este paralelă cu $O x$ $\Leftrightarrow f^{'} (a) = 0$ , $a \in (0, + \infty)$ (2p). Din $(2 - a) ln a = 0$ : a = 1 sau a = 2, care convin (3p).

Toate valorile au fost verificate numeric.

Care e ecuația tangentei în punctul de abscisă x₀?

Ce se cere la BAC

2 mincum apare la examen

III.1.b (5p): ecuația tangentei într-un punct dat (2020 specială: $y = x$ ; 2026 specială: $y = x + 2$ ; 2025 august: $y = 6$ ; 2026 iunie rezervă: $y = 2$ , toate în $x = 0$ sau $x = 1$ ), un punct pe tangentă (2020 august: $a = 2$ ), o dreaptă paralelă cu tangenta (model 2020: $y = 3$ ), punctele în care tangenta este paralelă cu $O x$ (model 2026: $a \in {1, 2}$ ) sau cu o dreaptă dată.
Barem tipic: 2p pentru $f (x_{0})$ și $f^{'} (x_{0})$ (sau pentru condiția pe pantă), 3p pentru ecuație.

Greșeli care costă puncte

1 mincapcanele de evitat

$f^{'} (x)$ în loc de $f^{'} (x_{0})$ în ecuație.
Lipsa lui $f (x_{0})$ : dreapta nu mai trece prin punctul de tangență.
Confuzia „tangenta” / „dreapta paralelă cu tangenta” (model 2020).
Perpendicularitate scrisă $m_{1} = - m_{2}$ în loc de $m_{1} m_{2} = - 1$ .
Calculul lui $f (x_{0})$ cu formula derivatei.

Termeni-cheie

Ecuația tangentei: Tangenta la graficul lui f în punctul de abscisă x₀ are ecuația y − f(x₀) = f′(x₀)(x − x₀).
Panta tangentei: m = f′(x₀).
Drepte paralele: Două drepte neverticale sunt paralele dacă au aceeași pantă: m₁ = m₂.
Drepte perpendiculare: Două drepte neverticale sunt perpendiculare dacă m₁·m₂ = −1.
Tangentă paralelă cu Ox: Tangenta orizontală: f′(x₀) = 0; ecuația ei este y = f(x₀).
Punct de tangență: Punctul (x₀, f(x₀)) de pe grafic în care se duce tangenta.
Tangentă printr-un punct exterior: Se scrie tangenta într-un x₀ necunoscut și se impune ca punctul dat să verifice ecuația; rezultă o ecuație în x₀.

Notițele mele

Salvat local

Pe scurt

Formula și interpretarea

Condiții pe tangentă

Itemi oficiali rezolvați

Ce se cere la BAC

Greșeli care costă puncte

Termeni-cheie

Notițele mele

Surse