Subiectul al III-lea: cum se lucrează analiza

Problema 1 (derivate, asimptote, monotonie, număr de soluții) și problema 2 (primitive, integrale, arii): tiparul cerințelor, ce punctează baremul și cerințe oficiale rezolvate pas cu pas.

20 min
La BAC: Subiectul al III-lea
Verificat pe bareme

Ilustrație generată pentru ZECE (artistică, nu o planșă științifică: pentru detalii exacte vezi schemele din lecție).

ții minte doar fișa asta și ești acoperit

Fișa de aur

01
III.1.a e aproape mereu „arătați că f′(x) = …”: scrii regula aplicată (cât, produs), apoi aduci la forma cerută.
02
Asimptota oblică: m = lim f(x)/x, n = lim (f(x) − mx). Dacă se dă dreapta, calculezi direct lim (f(x) − mx − n) = 0.
03
Numărul de soluții ale lui f(x) = m: tabelul de variație + limite + continuitate. Fiecare ramură monotonă dă cel mult o soluție.
Truc: Desenează „munții și văile” graficului și trage orizontala y = m.
04
III.2.a e o integrală directă: primitiva, apoi Leibniz–Newton F(b) − F(a).
05
Dacă apare f′/f sau (ln x)′ = 1/x, gândește-te la o primitivă de tip ln.

1 din 5

Pe scurt

2 minesențialul, de recitit oricând

Culorile din lecție:termenidee-cheie

III.1: funcție dată; a) derivata, b) asimptotă, tangentă sau limită, c) monotonie, extreme, număr de soluții, inegalități.
III.2: integrale; a) calcul direct, b) substituție, părți sau arie, c) limită ori inegalitate cu integrale.
Timp recomandat: aproximativ 70 de minute.
Baremul punctează regula aplicată și forma finală; la cerințele c), argumentul (monotonie, continuitate, limite) și concluzia.
Teoria completă: modulele „Limite, continuitate, derivate” și „Primitive și integrale”.

Problema III.1: derivate și studiul funcției

9 min 2 întrebări la final

a) Derivata
Scrii regula (produs, cât, compunere), apoi simplifici până la forma din enunț.
b) Asimptote, tangentă
Asimptota oblică: $m = lim \frac{f ( x )}{x}$ , $n = lim (f (x) - m x)$ ; orizontală: $lim f (x)$ finită; tangenta în $x_{0}$ : $y - f (x_{0}) = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$ .
c) Monotonie și consecințe
Rădăcinile și semnul lui $f^{'}$ , tabelul de variație cu valori și limite, apoi concluzia (extreme, număr de soluții, inegalitate).

Oficial: BAC 2026, iunie-iulie, varianta 3, III.1.a

Enunț: $f : R \to R$ , $f (x) = \frac{x ^{3} - 4 x}{x ^{2} + 5}$ . Arătați că $f^{'} (x) = \frac{( x ^{2} - 1 ) ( x ^{2} + 20 )}{( x ^{2} + 5 ) ^{2}}$ , $x \in R$ .

$f^{'} (x) = \frac{( 3 x ^{2} - 4 ) ( x ^{2} + 5 ) - ( x ^{3} - 4 x ) \cdot 2 x}{( x ^{2} + 5 ) ^{2}} =$

$= \frac{x ^{4} + 19 x ^{2} - 20}{( x ^{2} + 5 ) ^{2}} = \frac{( x ^{2} - 1 ) ( x ^{2} + 20 )}{( x ^{2} + 5 ) ^{2}}$ , $x \in R$

Oficial: BAC 2026, iunie-iulie, varianta 3, III.1.b și III.1.c

b) Arătați că $y = x$ este asimptota oblică spre $+ \infty$ la graficul lui $f$ .

$x \to + \infty lim (f (x) - x) = x \to + \infty lim \frac{- 9 x}{x ^{2} + 5} = 0$ , deci dreapta de ecuație $y = x$ este asimptota oblică spre $+ \infty$ la graficul funcției $f$

c) Determinați mulțimea numerelor reale $m$ pentru care ecuația $f (x) = m$ are exact trei soluții.

$f^{'} (x) = 0 ⟺ x = - 1$ sau $x = 1$ ; $f$ este strict crescătoare pe $(- \infty, - 1]$ , strict descrescătoare pe $[- 1, 1]$ , strict crescătoare pe $[1, + \infty)$

$x \to - \infty lim f (x) = - \infty$ , $f (- 1) = \frac{1}{2}$ , $f (1) = - \frac{1}{2}$ , $x \to + \infty lim f (x) = + \infty$ și $f$ este continuă, deci ecuația are exact trei soluții dacă și numai dacă $m \in (- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

III.1, totul pe același grafic

m = 0,2

f′ de la a) dă extremele, b) dă asimptota y = x, iar c) se citește pe grafic: trei soluții exact când m este între −1/2 și 1/2.

Oficial: BAC 2021, model, III.1.a și III.1.b

$f (x) = \frac{x e ^{x}}{e ^{x} + 2}$ .

a) $f^{'} (x) = \frac{( e ^{x} + x e ^{x} ) ( e ^{x} + 2 ) - x e ^{x} \cdot e ^{x}}{( e ^{x} + 2 ) ^{2}} = \frac{e ^{x} ( e ^{x} + 2 x + 2 )}{( e ^{x} + 2 ) ^{2}}$ , $x \in R$

b) $x \to + \infty lim \frac{f ( x )}{x} = x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{e ^{x} + 2} = 1$ , $x \to + \infty lim (f (x) - x) = x \to + \infty lim \frac{- 2 x}{e ^{x} + 2} = 0$ , deci $y = x$ este asimptotă oblică spre $+ \infty$

Pentru f(x) = (x³ − 4x)/(x² + 5), cât este f(x) − x?

Pentru ce m are f(x) = m exact trei soluții, dacă f crește, scade, crește, cu f(−1) = 1/2, f(1) = −1/2 și limite ∓∞?

Problema III.2: integrale

4 min o întrebare la final

Oficial: BAC 2026, iunie-iulie, varianta 3, III.2.a și III.2.b

$f : (1, + \infty) \to R$ , $f (x) = \frac{x ^{2} - 4}{x ln x}$ .

a) $\int_{2}^{3} f (x) x ln x d x = \int_{2}^{3} (x^{2} - 4) d x = (\frac{x ^{3}}{3} - 4 x)_{2}^{3} = - 3 + \frac{16}{3} = \frac{7}{3}$

b) $\int_{e}^{e^{2}} \frac{f ( x )}{x ^{2} - 4} d x = \int_{e}^{e^{2}} \frac{1}{x ln x} d x = ln (ln x)_{e}^{e^{2}} = ln 2 - ln 1 = ln 2$

Tipic

integrală de polinom, de exponențială, după o simplificare

Ce scrii

primitiva, apoi

F (b) - F (a)

Tipic

\frac{f ^{'}}{f}

, substituție, integrare prin părți, aria sub grafic

Ce scrii

metoda numită, calculul, rezultatul

Tipic

limită cu integrală (l'Hospital), inegalitate prin monotonia integralei

Ce scrii

justificarea (derivabilitate, monotonie), concluzia

1 / 3

Cerința	Tipic	Ce scrii
a)	integrală de polinom, de exponențială, după o simplificare	primitiva, apoi $F (b) - F (a)$
b)	$\frac{f ^{'}}{f}$ , substituție, integrare prin părți, aria sub grafic	metoda numită, calculul, rezultatul
c)	limită cu integrală (l'Hospital), inegalitate prin monotonia integralei	justificarea (derivabilitate, monotonie), concluzia

Cât este ∫ de la e la e² din 1/(x ln x) dx?

Ce se cere la BAC

3 mincum apare la examen

III.1.a: derivata (2026: forma $\frac{( x ^{2} - 1 ) ( x ^{2} + 20 )}{( x ^{2} + 5 ) ^{2}}$ ; model 2021).
III.1.b: asimptotă oblică (2026, model 2021), orizontală (iunie 2020, varianta 6), tangentă (specială 2020, model 2020).
III.1.c: număr de soluții (2026), punct de extrem unic (model 2021), inegalitate.
III.2: integrale directe la a) ( $\frac{7}{3}$ în 2026), substituții de tip $ln$ la b) ( $ln 2$ în 2026), limite cu integrale la c).
Tangenta la III.1.b (specială 2026): varianta 2, $f (x) = \frac{e ^{x} + 2 x + 1}{x + 1}$ ; barem: $f (0) = 2$ , $f^{'} (0) = 1$ , deci tangenta în $x = 0$ este $y = x + 2$ .

Greșeli care costă puncte

2 mincapcanele de evitat

Derivata câtului cu semn greșit sau fără pătratul numitorului.
Forma finală a derivatei neadusă la cea din enunț (se pierd punctele formei finale).
Asimptota declarată fără calculul limitei.
Tabelul de variație fără limite la capete, la numărul de soluții.
Leibniz–Newton cu ordinea inversată: $F (b) - F (a)$ , nu $F (a) - F (b)$ .

Termeni-cheie

Problema III.1: O funcție dată prin formulă: a) derivata, b) asimptotă, tangentă sau limită, c) monotonie, extreme, număr de soluții sau o inegalitate.
Problema III.2: O funcție (sau o familie de funcții) cu integrale: a) o integrală directă, b) o integrală prin substituție, părți sau o arie, c) o limită sau o inegalitate cu integrale.
Asimptota oblică spre +∞: Dreapta y = mx + n, cu m = lim f(x)/x (finit, nenul) și n = lim (f(x) − mx) (finit), x → +∞.
Derivata unui cât: (f/g)′ = (f′g − fg′)/g², pentru g ≠ 0.
Tabelul de variație: Semnul derivatei pe intervale, monotonia corespunzătoare, valorile în punctele critice și limitele la capete.
Numărul de soluții ale ecuației f(x) = m: Se citește din monotonie, valorile extreme, limite și continuitate (proprietatea lui Darboux).
Formula Leibniz–Newton: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a), unde F este o primitivă a funcției continue f.

Notițele mele

Salvat local

Pe scurt

Problema III.1: derivate și studiul funcției

Problema III.2: integrale

Ce se cere la BAC

Greșeli care costă puncte

Termeni-cheie

Notițele mele

Surse