Matematici financiare și statistică

Procente, scumpiri și ieftiniri succesive, dobânda simplă și compusă, TVA, date statistice, medii, dispersia și abaterea de la medie, cu itemi oficiali de calcul procentual.

18 min
La BAC: I.4
Verificat pe bareme

Ilustrație generată pentru ZECE (artistică, nu o planșă științifică: pentru detalii exacte vezi schemele din lecție).

ții minte doar fișa asta și ești acoperit

Fișa de aur

01
p% din x = p·x/100. Scumpire cu p%: x(1 + p/100); ieftinire: x(1 − p/100).
02
Prețul inițial se află dintr-o ecuație: după ieftinirea cu 20% costă 800 ⇒ 0,8·x = 800 ⇒ x = 1000.
Truc: Nu scădea 20% din 800: procentul se aplică prețului vechi.
03
Două scumpiri cu 10% nu fac 20%: prețul se înmulțește cu 1,1 · 1,1 = 1,21, adică +21%.
04
Dobânda compusă: S(1 + p/100)ⁿ; dobânda simplă: S·p·n/100.
05
Dispersia = media pătratelor abaterilor de la medie; abaterea medie pătratică e radicalul ei.

1 din 6

Pe scurt

2 minesențialul, de recitit oricând

Culorile din lecție:termenidee-cheie

Procente: $p %$ din $x$ este $\frac{p}{100} x$ ; modificarea cu $p %$ înmulțește cu $1 \pm \frac{p}{100}$ .
Modificări succesive: factorii se înmulțesc, procentele nu se adună.
Dobânzi: simplă $D = \frac{S p n}{100}$ ; compusă $S_{n} = S (1 + \frac{p}{100})^{n}$ .
TVA: prețul cu TVA $=$ prețul fără TVA $\cdot (1 + \frac{c}{100})$ , cu cota $c$ dată în enunț.
Statistică: media aritmetică, ponderată, geometrică, armonică; dispersia $σ^{2} = \frac{1}{n} \sum (x_{i} - \overset{x}{ˉ})^{2}$ ; abaterea medie pătratică $σ$ .
La M_mate-info, acest capitol apare rar; formulele sunt însă de bază la orice problemă cu context practic.

Procente și calcul financiar

6 min

p %

din

x

Formula

\frac{p}{100} x

Exemplu

15% din 240 este 36

scumpire cu

p %

Formula

x (1 + \frac{p}{100})

Exemplu

200 lei + 10% = 220 lei

ieftinire cu

p %

Formula

x (1 - \frac{p}{100})

Exemplu

180 lei este prețul după −10% pentru 200 lei

două scumpiri cu

p %

Formula

x (1 + \frac{p}{100})^{2}

Exemplu

2 000 · 1,21 = 2 420 lei

prețul inițial

Formula

rezolvi

x (1 \pm \frac{p}{100}) = y

Exemplu

1, 2 x = 660 \Rightarrow x = 550

1 / 5

Situație	Formula	Exemplu
$p %$ din $x$	$\frac{p}{100} x$	15% din 240 este 36
scumpire cu $p %$	$x (1 + \frac{p}{100})$	200 lei + 10% = 220 lei
ieftinire cu $p %$	$x (1 - \frac{p}{100})$	180 lei este prețul după −10% pentru 200 lei
două scumpiri cu $p %$	$x (1 + \frac{p}{100})^{2}$	2 000 · 1,21 = 2 420 lei
prețul inițial	rezolvi $x (1 \pm \frac{p}{100}) = y$	$1, 2 x = 660 \Rightarrow x = 550$

Dobânzi. La dobânda simplă, dobânda se calculează mereu la suma inițială: $D = \frac{S p n}{100}$ . La dobânda compusă (capitalizare anuală), dobânda unui an se adaugă la sumă și produce dobândă în anul următor: $S_{n} = S (1 + \frac{p}{100})^{n}$ .

TVA. Dacă prețul fără TVA este $P$ și cota este $c %$ , prețul de vânzare este $P (1 + \frac{c}{100})$ , iar TVA-ul este $\frac{c}{100} P$ . Cota se ia din enunț.

Profit și preț de cost. Profitul este diferența dintre prețul de vânzare și prețul de cost; profitul procentual raportat la cost este $\frac{profit}{cost} \cdot 100%$ . Exemplu: un produs cumpărat cu 80 de lei și vândut cu 100 de lei aduce un profit de 20 de lei, adică 25% din costul lui.

Date statistice și parametri

2 min o întrebare la final

Datele se culeg, se clasifică (tabel de frecvențe) și se reprezintă grafic (diagramă cu bare, histogramă, diagramă circulară, poligonul frecvențelor).

Pentru valorile $x_{1}, \dots, x_{n}$ :

\overset{x}{ˉ} = \frac{x _{1} + \dots + x _{n}}{n}, σ^{2} = \frac{( x _{1} - x ˉ ) ^{2} + \dots + ( x _{n} - x ˉ ) ^{2}}{n}, σ = σ^{2} .

Abaterea unei valori de la medie este $x_{i} - \overset{x}{ˉ}$ ; suma abaterilor este întotdeauna 0. Pentru date grupate cu frecvențele $n_{i}$ se folosește media ponderată $\overset{x}{ˉ} = \frac{\sum x _{i} n _{i}}{\sum n _{i}}$ .

Pentru $a, b > 0$ : media aritmetică $\frac{a + b}{2}$ , geometrică $ab$ , armonică $\frac{2 ab}{a + b}$ , cu $\frac{2 ab}{a + b} \leq ab \leq \frac{a + b}{2}$ .

Media și dispersia datelor 4, 6, 6, 8, 6?

Exemple rezolvate

5 min 2 întrebări la final

Oficial: BAC 2020, sesiunea august, M_tehnologic, varianta 3, I.4

Enunț: După o ieftinire cu 20%, prețul unei tablete este 800 de lei. Determinați prețul tabletei înainte de ieftinire.

$p - \frac{20}{100} \cdot p = 800$ , unde $p$ este prețul tabletei înainte de ieftinire

$p = 1000$ de lei

Oficial: BAC 2020, model, M_pedagogic, I.4

Enunț: Un obiect costă 2 000 de lei. Determinați prețul obiectului după ce acesta se scumpește de două ori, succesiv, cu câte 10%.

După prima scumpire cu 10%, prețul obiectului este $2000 + 10% \cdot 2000 = 2200$ de lei

După a doua scumpire cu 10%, prețul obiectului este $2200 + 10% \cdot 2200 = 2420$ de lei

Dobândă și TVA

Dobânda compusă: $1000 \cdot (1 + \frac{5}{100})^{2} = 1000 \cdot 1, 1025 = 1102, 5$ lei.

Dobânda simplă în aceleași condiții: $D = \frac{1000 \cdot 5 \cdot 2}{100} = 100$ de lei, deci suma finală este 1 100 de lei.

Preț fără TVA 200 de lei, cota 19% (dată): $200 \cdot 1, 19 = 238$ de lei, din care TVA 38 de lei.

Dobânda simplă și dobânda compusă

p (%) = 5

La p = 5, după 2 ani: 1100 de lei la dobânda simplă și 1102,5 lei la compusă. Dobânda compusă se calculează la suma crescută, deci diferența se mărește în timp.

Medie, dispersie, medie ponderată

Datele $4, 6, 6, 8, 6$ : $\overset{x}{ˉ} = \frac{30}{5} = 6$ ; abaterile $- 2, 0, 0, 2, 0$ ; $σ^{2} = \frac{4 + 0 + 0 + 4 + 0}{5} = 1, 6$ , $σ = 1, 6 \approx 1, 26$ .

Notele 10 (de 2 ori) și 8 (de 3 ori): $\overset{x}{ˉ} = \frac{2 \cdot 10 + 3 \cdot 8}{5} = \frac{44}{5} = 8, 8$ .

Un obiect de 2 000 de lei se scumpește de două ori cu câte 10%. Prețul final?

Prețul fără TVA este 200 de lei, cota TVA dată în enunț 19%. Prețul cu TVA?

Ce se cere la BAC

2 mincum apare la examen

Preț inițial sau final după una sau două modificări procentuale: M_tehnologic august 2020, varianta 3, I.4 (1 000 de lei); M_pedagogic model 2020, I.4 (2 420 de lei); M_pedagogic model 2021, I.4: „după o scumpire cu 20%, prețul unui obiect este 660 de lei” (prețul inițial 550 de lei).
La M_mate-info, în variantele consultate (2020–2022 și 11 lucrări 2024–2026), itemul I.4 a fost de numărare sau probabilitate; capitolul rămâne în programă și poate apărea.
Mediile apar și în alte itemi: media aritmetică a două numere (august 2021, varianta 4, I.1).

Greșeli care costă puncte

1 mincapcanele de evitat

Procentul aplicat prețului nou când se cere prețul inițial.
Procentele adunate la modificări succesive.
Dobânda simplă calculată ca dobândă compusă (sau invers): citește dacă dobânda se adaugă la capital.
Media aritmetică în loc de media ponderată când valorile au frecvențe diferite.
Rezultat fără unitate (lei) în problemele cu context.

Termeni-cheie

Procent: p% dintr-un număr x înseamnă (p/100)·x.
Scumpire / ieftinire cu p%: Prețul nou este x·(1 + p/100), respectiv x·(1 − p/100).
Modificări succesive: Două scumpiri cu p% înmulțesc prețul cu (1 + p/100)²; procentele nu se adună.
Dobânda simplă: Pentru suma S, rata anuală p% și n ani, fără capitalizare: D = S·p·n/100.
Dobânda compusă: Cu dobânda adăugată la sumă în fiecare an: Sₙ = S·(1 + p/100)ⁿ.
TVA: Taxa pe valoarea adăugată; prețul cu TVA = prețul fără TVA · (1 + cota/100), cota fiind dată în enunț.
Media aritmetică ponderată: (x₁n₁ + x₂n₂ + … + xₖnₖ)/(n₁ + n₂ + … + nₖ), unde nᵢ sunt frecvențele (ponderile).
Media geometrică și armonică: Pentru a, b > 0: √(ab), respectiv 2ab/(a + b).
Dispersia: σ² = [(x₁ − x̄)² + … + (xₙ − x̄)²]/n, unde x̄ este media aritmetică.
Abaterea medie pătratică: σ = √(dispersia); măsoară cât de împrăștiate sunt datele față de medie.

Notițele mele

Salvat local

Pe scurt

Procente și calcul financiar

Date statistice și parametri

Exemple rezolvate

Ce se cere la BAC

Greșeli care costă puncte

Termeni-cheie

Notițele mele

Surse