Funcții continue și proprietatea lui Darboux

Continuitatea într-un punct (cu limite laterale), funcțiile continue, operațiile cu funcții continue, continuitatea funcțiilor pe ramuri, proprietatea lui Darboux, semnul unei funcții continue și existența soluțiilor unei ecuații.

22 min
La BAC: Subiectul al III-lea (1)
Verificat pe bareme

Ilustrație generată pentru ZECE (artistică, nu o planșă științifică: pentru detalii exacte vezi schemele din lecție).

ții minte doar fișa asta și ești acoperit

Fișa de aur

01
f continuă în x₀ ⇔ ls(x₀) = ld(x₀) = f(x₀). La funcții pe ramuri, verifici doar punctul de racord: pe fiecare ramură funcția e elementară, deci continuă.
02
Funcțiile elementare sunt continue pe domeniul lor; suma, produsul, câtul, compunerea păstrează continuitatea.
03
Darboux: o funcție continuă pe un interval nu sare peste valori: ia orice valoare dintre f(a) și f(b).
Truc: Nu poți urca de la parter la etajul 3 fără să treci prin etajele 1 și 2.
04
f(a)·f(b) < 0 și f continuă ⇒ există soluție în (a, b). Dacă în plus f e strict monotonă, soluția e unică.
05
O funcție continuă fără zerouri pe un interval are semn constant acolo: tabelul de semn se face între zerouri.

1 din 6

Pe scurt

2 minesențialul, de recitit oricând

Culorile din lecție:termencifră, datăidee-cheie

$f$ este continuă în $x_{0} \in D$ dacă limita în $x_{0}$ există și este egală cu $f (x_{0})$ ; pentru $x_{0}$ interior: $l_{s} (x_{0}) = l_{d} (x_{0}) = f (x_{0})$ .
Funcțiile elementare sunt continue pe domeniile lor; operațiile și compunerea păstrează continuitatea.
La funcții pe ramuri, se studiază doar punctele de racord.
Darboux: o funcție continuă pe un interval ia toate valorile intermediare.
Consecințe: $f (a) f (b) < 0 \Rightarrow$ există o rădăcină în $(a, b)$ ; funcția continuă fără zerouri pe un interval are semn constant.

Continuitatea într-un punct

4 min o întrebare la final

Definiție. Fie $f : D \to R$ și $x_{0} \in D$ punct de acumulare al lui $D$ . Funcția $f$ este continuă în $x_{0}$ dacă

x \to x_{0} lim f (x) = f (x_{0})

Dacă $x_{0}$ este punct izolat al lui $D$ , $f$ este continuă în $x_{0}$ prin convenție. Pentru $x_{0}$ interior unui interval din $D$ :

f continu \overset{a}{˘} \overset{ı}{ˆ} n x_{0} ⟺ l_{s} (x_{0}) = l_{d} (x_{0}) = f (x_{0})

Interpretare grafică: în jurul lui $x_{0}$ , graficul se trasează fără întrerupere.

Exemplul 1. Parametru pentru continuitate

$f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} + a$ pentru $x \leq 1$ și $f (x) = 2 x + 3$ pentru $x > 1$ . Determinați $a$ pentru care $f$ este continuă.

Pe $(- \infty, 1)$ și pe $(1, + \infty)$ , $f$ este polinomială, deci continuă. În $x_{0} = 1$ :

l_{s} (1) = x \to 1 x < 1 lim (x^{2} + a) = 1 + a = f (1), l_{d} (1) = x \to 1 x > 1 lim (2 x + 3) = 5

$f$ continuă în 1 $\Leftrightarrow 1 + a = 5 \Leftrightarrow a = 4$ .

Parametrul care închide saltul

a = 1

Mută cursorul: ramura din stânga urcă odată cu a. Cercul gol este limita din dreapta, 5, iar saltul se închide exact la a = 4.

Exemplul 2. Continuitate cu o limită fundamentală

$f (x) = sin x / x$ pentru $x \neq = 0$ și $f (0) = m$ . Cum limita lui $sin x / x$ în 0 este 1, $f$ este continuă în 0 $\Leftrightarrow m = 1$ . Analog, pentru $f (x) = e^{x}$ pentru $x \leq 0$ și $f (x) = x + a$ pentru $x > 0$ : continuitatea în 0 cere $e^{0} = 0 + a$ , adică $a = 1$ .

Ce garantează f(0)·f(1) < 0 pentru f continuă?

Operații cu funcții continue

1 min o întrebare la final

Dacă $f$ , $g$ sunt continue în $x_{0}$ , atunci $f + g$ , $f - g$ , $f \cdot g$ , $α f$ , $∣ f ∣$ și $f / g$ (cu $g (x_{0}) \neq = 0$ ) sunt continue în $x_{0}$ . Compunerea a două funcții continue este continuă. De aceea, la BAC, pentru o funcție dată printr-o singură formulă elementară scrii doar: „ $f$ este continuă, ca operații cu funcții elementare continue”.

Când e continuă o funcție pe ramuri în punctul de racord?

Proprietatea lui Darboux

12 min o întrebare la final

Definiție. $f : I \to R$ ( $I$ interval) are proprietatea lui Darboux dacă pentru orice $a < b$ din $I$ și orice $λ$ cuprins între $f (a)$ și $f (b)$ , există $c \in [a, b]$ cu $f (c) = λ$ .

Proprietate. Orice funcție continuă pe un interval are proprietatea lui Darboux.

Consecința 1 (existența rădăcinii). Dacă $f$ este continuă pe $[a, b]$ și $f (a) f (b) < 0$ , ecuația $f (x) = 0$ are cel puțin o soluție în $(a, b)$ .

Consecința 2 (semnul). Dacă $f$ este continuă pe un interval $I$ și $f (x) \neq = 0$ pentru orice $x \in I$ , atunci $f$ are semn constant pe $I$ . Așa se justifică tabelul de semn: între două zerouri consecutive ale unei funcții continue, semnul nu se schimbă.

Unicitatea vine din altă parte: o funcție strict monotonă este injectivă, deci se anulează cel mult o dată.

Varianta cu limite. Dacă $f$ este continuă pe $(a, b)$ și are limite cu semne contrare la capete (de exemplu $- \infty$ și $+ \infty$ ), ecuația $f (x) = 0$ are soluție în $(a, b)$ .

Exemplul 3. Existența și unicitatea unei soluții

Arătați că ecuația $x^{3} + x - 1 = 0$ are o unică soluție reală, situată în $(0, 1)$ .

$f (x) = x^{3} + x - 1$ este continuă (polinomială), $f (0) = - 1 < 0$ , $f (1) = 1 > 0$ , deci există $c \in (0, 1)$ cu $f (c) = 0$ . Cum $f$ este strict crescătoare (sumă de funcții strict crescătoare), soluția este unică. (Numeric, soluția este aproximativ 0,68.)

Semne contrare la capete, deci o rădăcină între ele

Graficul continuu trece de sub axă deasupra ei, deci o taie între 0 și 1. Fiind strict crescător, o taie o singură dată.

Model BAC 2021, III.1.c (argumentul de existență)

Pentru $f (x) = \frac{x e ^{x}}{e ^{x} + 2}$ , derivata de la a) este

f^{'} (x) = \frac{e ^{x} g ( x )}{( e ^{x} + 2 ) ^{2}}, g (x) = e^{x} + 2 x + 2

iar baremul argumentează:

$g$ este strict crescătoare și continuă, cu limita $- \infty$ la $- \infty$ și $+ \infty$ la $+ \infty$ , deci există un unic $c \in R$ cu $g (c) = 0$ . Atunci $f^{'} (x) < 0$ pe $(- \infty, c)$ și $f^{'} (x) > 0$ pe $(c, + \infty)$ , deci $f$ are un unic punct de extrem, $x = c$ (barem: 3p pentru existența și unicitatea lui $c$ , 2p pentru monotonie și concluzie).

Control numeric: $g (- 2) = e^{- 2} - 2 < 0$ , $g (- 1) = e^{- 1} > 0$ , deci $c \in (- 2, - 1)$ .

Model BAC 2022, III.1.c (continuitatea unei funcții cu modul)

Funcția din enunț este $g (x) = ∣ f (x) / e^{- x} - 1 ∣$ , cu $f (x) = (x^{3} + 3 x + 1) e^{- x}$ , deci $g (x) = ∣ x^{3} + 3 x ∣$ . Cum $x^{3} + 3 x = x (x^{2} + 3)$ are semnul lui $x$ :

g (x) = {- x^{3} - 3 x, x^{3} + 3 x, x \in (- \infty, 0) x \in [0, + \infty)

$g$ este continuă (modulul unei funcții continue); pe ramuri, $g^{'} (x) = - 3 x^{2} - 3 < 0$ pe $(- \infty, 0)$ și $g^{'} (x) = 3 x^{2} + 3 > 0$ pe $(0, + \infty)$ , deci $g$ are un singur punct de extrem, $x = 0$ .

Model BAC 2026, III.1.c. Soluție unică

$f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = x + ln^{2} x - x ln x$ , cu $f^{'} (x) = \frac{( 2 - x ) ln x}{x}$ (de la a)). Demonstrați că ecuația $f (x) = 0$ are soluție unică.

Semnul lui $f^{'}$ : $f^{'} \leq 0$ pe $(0, 1]$ , $f^{'} \geq 0$ pe $[1, 2]$ , $f^{'} < 0$ pe $(2, + \infty)$ ; deci $f$ este descrescătoare pe $(0, 1]$ , crescătoare pe $[1, 2]$ și strict descrescătoare pe $(2, + \infty)$ (2p).

Pe $(0, 2]$ , $f (x) \geq f (1) = 1 > 0$ , deci ecuația nu are soluții acolo. Pe $[2, + \infty)$ , $f$ este continuă și strict descrescătoare, cu $f (2) > f (1) > 0$ și

x \to + \infty lim f (x) = x \to + \infty lim (x (1 - ln x) + ln^{2} x) = - \infty

deci (Darboux + injectivitate) ecuația $f (x) = 0$ are soluție unică, situată în $(2, + \infty)$ (barem: 3p pentru $f (1) = 1$ , limita $- \infty$ , continuitate și concluzie).

Toate valorile și semnele au fost verificate numeric.

Ce semn are o funcție continuă fără zerouri pe un interval?

Ce se cere la BAC

2 mincum apare la examen

Continuitatea la funcții pe ramuri sau cu parametru (de obicei la Subiectul al III-lea, 1 sau 2, ca etapă: „f este continuă, deci admite primitive”).
Darboux / existența soluției ca pas în III.1.c: număr de soluții (lecția dedicată), unicitatea unui punct de extrem (model 2021), soluția unică a unei ecuații (model 2026; 2026 august: $f (x) + n = 0$ ), semnul derivatei.
Fraza-cheie din barem: „f este continuă și strict monotonă pe ..., iar limitele la capete sunt ..., deci ecuația are soluție unică în ...”.

Greșeli care costă puncte

1 mincapcanele de evitat

ls = ld fără f(x₀): continuitatea cere și valoarea.
Darboux aplicat pe o reuniune de intervale sau pentru o funcție discontinuă.
„Există soluție” confundat cu „soluție unică”: unicitatea cere monotonie strictă.
Modulul desfăcut greșit: semnul expresiei din modul se stabilește întâi.
Continuitatea uitată în argumentul pentru numărul de soluții: baremul o punctează explicit.

Termeni-cheie

Funcție continuă într-un punct: f este continuă în x₀ ∈ D (punct de acumulare al lui D) dacă lim (x → x₀) f(x) = f(x₀); f este continuă în orice punct izolat al domeniului.
Continuitate cu limite laterale: Pentru x₀ interior: f continuă în x₀ ⇔ ls(x₀) = ld(x₀) = f(x₀).
Funcție continuă: Funcție continuă în fiecare punct al domeniului de definiție.
Funcțiile elementare: Funcțiile polinomiale, raționale, putere, radical, exponențiale, logaritmice, trigonometrice directe și inverse sunt continue pe domeniile lor.
Operații cu funcții continue: Suma, diferența, produsul, câtul (unde numitorul nu se anulează) și compunerea funcțiilor continue sunt funcții continue.
Punct de discontinuitate: Punct x₀ din domeniu în care f nu este continuă.
Proprietatea lui Darboux: f are proprietatea lui Darboux pe interval dacă, pentru orice a < b din interval și orice λ între f(a) și f(b), există c între a și b cu f(c) = λ.
Continuitate ⇒ Darboux: Orice funcție continuă pe un interval are proprietatea lui Darboux.
Existența unei rădăcini: Dacă f este continuă pe [a, b] și f(a)·f(b) < 0, atunci există c ∈ (a, b) cu f(c) = 0.
Semnul unei funcții continue: O funcție continuă care nu se anulează pe un interval păstrează semn constant pe acel interval.

Notițele mele

Salvat local