Limite de funcții: limite laterale, limite fundamentale, cazuri exceptate

Limita unei funcții într-un punct cu vecinătăți, limitele laterale, limitele funcțiilor elementare, limitele fundamentale (sin x/x, numărul e, ln(1+x)/x, (aˣ − 1)/x) și cum se ridică nedeterminările, inclusiv 1 la puterea infinit.

28 min
La BAC: Subiectul al III-lea (1)
Verificat pe bareme

Ilustrație generată pentru ZECE (artistică, nu o planșă științifică: pentru detalii exacte vezi schemele din lecție).

ții minte doar fișa asta și ești acoperit

Fișa de aur

01
Limita există ⇔ ls = ld (în punct interior). La funcții pe ramuri sau cu modul, calculezi separat stânga și dreapta.
02
0/0 la raport de polinoame: descompui și simplifici cu (x − x₀). Radicali: conjugata.
03
Limitele fundamentale (x → 0): sin x/x, tg x/x, ln(1 + x)/x, (eˣ − 1)/x → 1; (aˣ − 1)/x → ln a; (1 + x)^(1/x) → e.
Truc: Toate „încep” de la 0 și „măsoară” cât de repede pleacă funcția de la valoarea ei în 0.
04
Generalizare: pui orice u(x) → 0 în locul lui x, de exemplu sin 3x/(3x) → 1, deci sin 3x/x → 3.
05
1^∞: lim u^v = e^(lim (u − 1)·v). Scrii u = 1 + (u − 1) și forțezi forma cu e.
06
La ±∞: polinomul se comportă ca termenul dominant; eˣ crește mai repede decât orice putere, ln x mai încet decât orice putere.

1 din 7

Pe scurt

4 minesențialul, de recitit oricând

Culorile din lecție:termencifră, datăidee-cheie

Limita în $x_{0}$ are sens doar dacă $x_{0}$ este punct de acumulare al domeniului; ea nu depinde de $f (x_{0})$ .
În punct interior: limita există $\Leftrightarrow$ limitele laterale există și sunt egale.
Funcțiile elementare (polinomiale, raționale, radical, putere, exponențială, logaritmică, trigonometrice) au, în orice punct al domeniului, limita egală cu valoarea funcției.
Limite fundamentale în 0: $sin x / x$ , $tg x / x$ , $ln (1 + x) / x$ , $(e^{x} - 1) / x$ tind la 1; $(a^{x} - 1) / x \to ln a$ ; $(1 + x)^{1/ x} \to e$ .
Cazuri exceptate: $0/0$ , $\infty/\infty$ , $\infty - \infty$ , $0 \cdot \infty$ , $1^{\infty}$ , $\infty^{0}$ , $0^{0}$ .
$1^{\infty}$ : $lim u^{v}$ este $e$ la puterea $lim (u - 1) \cdot v$ .

Limita într-un punct și limitele laterale

4 min 3 întrebări la final

Definiția cu vecinătăți. Numărul $l$ (finit sau $\pm \infty$ ) este limita lui $f$ în $x_{0}$ dacă pentru orice vecinătate $V$ a lui $l$ există o vecinătate $U$ a lui $x_{0}$ astfel încât $f (x) \in V$ pentru orice $x \in U \cap D$ , $x \neq = x_{0}$ . Grafic: când $x$ se apropie de $x_{0}$ , punctele graficului se apropie de dreapta $y = l$ .

Limitele laterale:

l_{s} (x_{0}) = x \to x_{0} x < x_{0} lim f (x), l_{d} (x_{0}) = x \to x_{0} x > x_{0} lim f (x)

Exemplul 1. Limite laterale diferite

a) $f (x) = \frac{1}{x - 1}$ în $x_{0} = 1$ :

l_{s} (1) = x \to 1 x < 1 lim \frac{1}{x - 1} = \frac{1}{0 _{-}} = - \infty, l_{d} (1) = \frac{1}{0 _{+}} = + \infty

Limitele laterale diferă, deci $f$ nu are limită în 1.

b) $f (x) = ∣ x ∣ / x$ în 0: $l_{s} (0) = - 1$ , $l_{d} (0) = 1$ ; nu are limită în 0.

Două limite laterale diferite în x = 1

Când x vine din stânga lui 1, valorile coboară spre −∞; când vine din dreapta, urcă spre +∞. Limitele laterale diferă, deci f nu are limită în 1.

Cât este limita lui (e^(2x) − 1)/sin x în 0?

Când are f limită într-un punct interior x₀?

Cât este limita lui (aˣ − 1)/x în 0?

Limitele funcțiilor elementare la ±∞

6 min

FuncțiaComportare

Polinom de grad

n \geq 1

ca termenul dominant

a_{n} x^{n}

Raport de polinoame

după grade: 0, raportul coeficienților dominanți sau

\pm \infty

a^{x}

a > 1

+ \infty

+ \infty

; 0 la

- \infty

a^{x}

0 < a < 1

0 la

+ \infty

;

+ \infty

- \infty

ln x

+ \infty

+ \infty

;

- \infty

când

x \to 0

x > 0

arctg x

π /2

+ \infty

;

- π /2

- \infty

sin x

cos x

nu au limită la

\pm \infty

Funcția	Comportare
Polinom de grad $n \geq 1$	ca termenul dominant $a_{n} x^{n}$
Raport de polinoame	după grade: 0, raportul coeficienților dominanți sau $\pm \infty$
$a^{x}$ , $a > 1$	$+ \infty$ la $+ \infty$ ; 0 la $- \infty$
$a^{x}$ , $0 < a < 1$	0 la $+ \infty$ ; $+ \infty$ la $- \infty$
$ln x$	$+ \infty$ la $+ \infty$ ; $- \infty$ când $x \to 0$ , $x > 0$
$arctg x$	$π /2$ la $+ \infty$ ; $- π /2$ la $- \infty$
$sin x$ , $cos x$	nu au limită la $\pm \infty$

Comparații de creștere (se justifică cu l'Hospital): pentru orice $n \in N$ ,

x \to + \infty lim \frac{x ^{n}}{e ^{x}} = 0, x \to + \infty lim \frac{ln x}{x} = 0

Limitele fundamentale

4 min

x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = x \to 0 lim \frac{tg x}{x} = x \to 0 lim \frac{arcsin x}{x} = x \to 0 lim \frac{arctg x}{x} = 1

x \to 0 lim (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e, x \to \pm \infty lim (1 + \frac{1}{x})^{x} = e

x \to 0 lim \frac{ln ( 1 + x )}{x} = 1, x \to 0 lim \frac{a ^{x} - 1}{x} = ln a (a > 0), x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1}{x} = 1, x \to 0 lim \frac{( 1 + x ) ^{r} - 1}{x} = r

sin x / x se apropie de 1

x = 3

Mută cursorul spre 0: punctul urcă spre 1. În 0 funcția nu e definită (cercul gol), dar limita există și este 1.

Forma generalizată. Dacă $u (x) \to 0$ când $x \to x_{0}$ și $u (x) \neq = 0$ lângă $x_{0}$ , atunci, de exemplu, $sin u (x) / u (x) \to 1$ , $ln (1 + u (x)) / u (x) \to 1$ , $(1 + u (x))^{1/ u (x)} \to e$ .

Cazul $1^{\infty}$ . Dacă $u (x) \to 1$ și $v (x) \to \pm \infty$ :

lim u (x)^{v (x)} = lim [(1 + (u (x) - 1))^{\frac{1}{u ( x ) - 1}}]^{(u (x) - 1) v (x)} = e^{l i m (u (x) - 1) v (x)}

Alte cazuri exceptate: $0 \cdot \infty$ se scrie ca $0/0$ sau $\infty/\infty$ ; $\infty - \infty$ se rezolvă prin aducere la același numitor, factor comun forțat sau conjugată; $\infty^{0}$ și $0^{0}$ se scriu $u^{v} = exp (v ln u)$ și se calculează limita exponentului.

Exemple rezolvate

5 min

Exemplul 2. 0/0 la raport de polinoame

x \to 2 lim \frac{x ^{2} - 4}{x ^{2} - 3 x + 2} = x \to 2 lim \frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{( x - 2 ) ( x - 1 )} = x \to 2 lim \frac{x + 2}{x - 1} = 4

Exemplul 3. ∞ − ∞ cu radical

x \to + \infty lim (x^{2} + 3 x - x) = x \to + \infty lim \frac{3 x}{x ^{2} + 3 x + x} = x \to + \infty lim \frac{3}{1 + \frac{3}{x} + 1} = \frac{3}{2}

Exemplul 4. Limite fundamentale generalizate

x \to 0 lim \frac{sin 3 x}{x} = x \to 0 lim 3 \cdot \frac{sin 3 x}{3 x} = 3, x \to 0 lim \frac{e ^{2 x} - 1}{sin x} = x \to 0 lim (\frac{e ^{2 x} - 1}{2 x} \cdot \frac{x}{sin x} \cdot 2) = 2

Exemplul 5. 1 la puterea infinit

x \to + \infty lim (\frac{x + 2}{x - 1})^{x} = e^{x \to + \infty l i m (\frac{x + 2}{x - 1} - 1) x} = e^{x \to + \infty l i m \frac{3 x}{x - 1}} = e^{3}

Model BAC 2022, III.1.b

$f (x) = (x^{3} + 3 x + 1) e^{- x}$ . Arătați că

x \to + \infty lim (\frac{f ( x ) - e ^{- x}}{f ( x ) + e ^{- x}})^{f (x) e^{x}} = e^{- 2}

Împărțind cu $e^{- x}$ , baza este $(x^{3} + 3 x) / (x^{3} + 3 x + 2)$ , iar exponentul este $x^{3} + 3 x + 1$ :

x \to + \infty lim (1 + \frac{- 2}{x ^{3} + 3 x + 2})^{x^{3} + 3 x + 1} = e^{x \to + \infty l i m \frac{- 2 ( x ^{3} + 3 x + 1 )}{x ^{3} + 3 x + 2}} = e^{- 2}

Barem: 3p pentru aducerea bazei la forma $1 - 2/ (x^{3} + 3 x + 2)$ cu exponentul potrivit, 2p pentru calculul limitei din exponent.

Simulare BAC 2026, III.1.b. 1 la infinit într-un punct finit

$f : (1, + \infty) \to R$ , $f (x) = \frac{e ^{x - 2}}{x - 1}$ , cu $f^{'} (x) = \frac{e ^{x - 2} ( 2 x - 3 )}{2 ( x - 1 ) x - 1}$ (de la a)). Arătați că

x \to 2 lim (f (x))^{\frac{1}{x - 2}} = e

Cum $f (2) = 1$ , cazul este $1^{\infty}$ :

x \to 2 lim (f (x))^{\frac{1}{x - 2}} = x \to 2 lim [(1 + f (x) - 1)^{\frac{1}{f ( x ) - 1}}]^{\frac{f ( x ) - 1}{x - 2}} = e^{x \to 2 l i m \frac{f ( x ) - f ( 2 )}{x - 2}} = e^{f^{'} (2)} = e^{\frac{1}{2}} = e

(barem: 3p forma cu $e$ , 2p $f^{'} (2) = \frac{1}{2}$ și rezultatul). Exponentul este o derivată deghizată (lecția despre derivabilitate).

BAC 2025, iunie–iulie (rezervă), varianta 5, III.1.c

$f : R \to R$ , $f (x) = (x - 5) x^{2} + 2$ . Arătați că

x \to + \infty lim (\frac{x ^{2} - 5 x}{f ( x )})^{x} = 1

Pentru $x > 5$ , $\frac{x ^{2} - 5 x}{f ( x )} = \frac{x}{x ^{2} + 2} = (1 - \frac{2}{x ^{2} + 2})^{\frac{1}{2}}$ , deci

x \to + \infty lim (1 - \frac{2}{x ^{2} + 2})^{\frac{x}{2}} = x \to + \infty lim (1 - \frac{2}{x ^{2} + 2})^{- \frac{x ^{2} + 2}{2}}^{- \frac{x}{x ^{2} + 2}} = e^{x \to + \infty l i m \frac{- x}{x ^{2} + 2}} = e^{0} = 1

(3p + 2p). Atenție: baza tinde la 1, dar exponentul la $+ \infty$ ; limita nu este 1 „pentru că baza e 1”, ci pentru că exponentul final tinde la 0.

Toate limitele au fost verificate numeric.

Ce se cere la BAC

3 mincum apare la examen

III.1.b sau III.1.c (5p): o limită cerută explicit (model 2022, b: $e^{- 2}$ ; 2020 august, c: $ln 4$ , vezi lecția despre l'Hospital; simulare 2026, b: $e$ ; 2025 iunie rezervă, c: 1) sau o asimptotă (lecția următoare).
Limitele din III.1.c: când se studiază numărul de soluții sau o inegalitate, baremul cere limitele la capetele domeniului (2021 august: $+ \infty$ la 0 și la $+ \infty$ ).
Formularea „Arătați că limita este ...” cere calculul complet; nu e suficient să verifici numeric.

Greșeli care costă puncte

2 mincapcanele de evitat

Argumente diferite în limita fundamentală ( $sin 3 x / x \to 1$ ).
$1^{\infty} = 1$ sau $0 \cdot \infty = 0$ .
Limita unei funcții pe ramuri calculată doar dintr-o parte.
Semnul lui 0 la numitor ( $0_{-}$ sau $0_{+}$ ) ignorat: dai $+ \infty$ în loc de $- \infty$ .
La $- \infty$ cu radical: $x^{2} = ∣ x ∣ = - x$ pentru $x < 0$ , nu $x$ .

Termeni-cheie

Vecinătate a unui punct: Orice mulțime care conține un interval deschis centrat în acel punct; pentru +∞, o mulțime care conține un interval (a, +∞).
Punct de acumulare: Punct x₀ în orice vecinătate a căruia există puncte ale domeniului diferite de x₀; doar în astfel de puncte are sens limita.
Limita unei funcții într-un punct: l este limita lui f în x₀ dacă pentru orice vecinătate V a lui l există o vecinătate U a lui x₀ astfel încât f(x) ∈ V pentru orice x ∈ U ∩ D, x ≠ x₀.
Limite laterale: Limita la stânga ls(x₀) (pentru x < x₀) și limita la dreapta ld(x₀) (pentru x > x₀).
Existența limitei: f are limită în x₀ (punct interior) dacă și numai dacă limitele laterale există și sunt egale.
Limita fundamentală sin x / x: lim (x → 0) sin x / x = 1; la fel tg x / x, arcsin x / x, arctg x / x.
Limitele cu numărul e: lim (x → 0) (1 + x)^(1/x) = e și lim (x → ±∞) (1 + 1/x)ˣ = e.
Limitele logaritmică și exponențială: lim (x → 0) ln(1 + x)/x = 1, lim (x → 0) (aˣ − 1)/x = ln a, cu a > 0.
Forma generalizată: Dacă u(x) → 0 și u(x) ≠ 0, limitele fundamentale rămân valabile cu u(x) în loc de x, de exemplu sin u(x)/u(x) → 1.
Cazul 1^∞: Dacă u(x) → 1 și v(x) → ±∞, atunci lim u(x)^v(x) = e la puterea lim (u(x) − 1)·v(x).

Notițele mele

Salvat local