Geometrie analitică: puncte, vectori și dreapta în plan

Coordonatele unui vector și ale unui punct, distanța dintre două puncte, mijlocul și centrul de greutate, panta, ecuațiile dreptei, paralelism, perpendicularitate, mediatoare, distanța de la un punct la o dreaptă și arii, cu șase itemi oficiali de tip I.5.

26 min
La BAC: I.5
Verificat pe bareme

Ilustrație generată pentru ZECE (artistică, nu o planșă științifică: pentru detalii exacte vezi schemele din lecție).

ții minte doar fișa asta și ești acoperit

Fișa de aur

01
Panta m_AB = (y_B − y_A)/(x_B − x_A). Paralele: pante egale. Perpendiculare: produsul pantelor −1.
02
Dreapta prin M de pantă m: y − y_M = m(x − x_M). E formula din barem la aproape orice ecuație de dreaptă.
03
Distanța AB = √((x_B − x_A)² + (y_B − y_A)²); mijlocul = media coordonatelor.
04
Punct pe mediatoarea lui AB ⇔ egal depărtat de A și B: scrii CA = CB și ridici la pătrat.
Truc: Mediatoarea e „linia de echilibru” dintre A și B.
05
Relații vectoriale cu coordonate: MN + MP = MQ se rezolvă pe componente (sau prin paralelogramul MNQP).

1 din 7

Pe scurt

2 minesențialul, de recitit oricând

Culorile din lecție:termencifră, datăidee-cheie

Fiecărui punct îi corespund coordonatele $(x, y)$ ; vectorul $A B$ are coordonatele $(x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A})$ .
Distanța $A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$ ; mijlocul și centrul de greutate: mediile coordonatelor.
Panta $m_{A B} = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}$ ; dreapta prin $M$ de pantă $m$ : $y - y_{M} = m (x - x_{M})$ .
Paralelism: $m_{1} = m_{2}$ ; perpendicularitate: $m_{1} m_{2} = - 1$ .
Distanța de la un punct la o dreaptă și aria unui triunghi din coordonate.
La BAC, I.5 este de geometrie analitică în 5 din cele 8 variante M_mate-info 2020–2022 consultate și se lucrează în coordonate în toate cele 11 lucrări 2024–2026 verificate.

Coordonate de vectori și puncte

4 min

Într-un reper $x O y$ cu versorii $i$ , $j$ , orice vector se scrie $v = a i + b j$ , cu coordonatele $(a, b)$ . Pentru $u = (a, b)$ , $v = (c, d)$ și $k \in R$ :

u + v = (a + c, b + d), k u = (k a, k b), ∣ u ∣ = a^{2} + b^{2}, u ∥ v ⟺ a d - b c = 0.

ElementFormula

vectorul

A B

(x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A})

distanța

A B

(x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}

mijlocul

M

al lui

A B

(\frac{x _{A} + x _{B}}{2}, \frac{y _{A} + y _{B}}{2})

centrul de greutate

G

(\frac{x _{A} + x _{B} + x _{C}}{3}, \frac{y _{A} + y _{B} + y _{C}}{3})

simetricul lui

A

față de

M

A^{'} (2 x_{M} - x_{A}, 2 y_{M} - y_{A})

Element	Formula
vectorul $A B$	$(x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A})$
distanța $A B$	$(x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$
mijlocul $M$ al lui $A B$	$(\frac{x _{A} + x _{B}}{2}, \frac{y _{A} + y _{B}}{2})$
centrul de greutate $G$	$(\frac{x _{A} + x _{B} + x _{C}}{3}, \frac{y _{A} + y _{B} + y _{C}}{3})$
simetricul lui $A$ față de $M$	$A^{'} (2 x_{M} - x_{A}, 2 y_{M} - y_{A})$

Ecuațiile dreptei

3 min o întrebare la final

Explicită: $y = m x + n$ ( $m$ panta, $n$ ordonata la origine).
Prin punctul $M (x_{0}, y_{0})$ , de pantă $m$ : $y - y_{0} = m (x - x_{0})$ .
Prin punctul $M$ , de direcție $v = (p, q)$ : $\frac{x - x _{0}}{p} = \frac{y - y _{0}}{q}$ (pentru $p, q \neq = 0$ ).
Prin două puncte: $\frac{x - x _{A}}{x _{B} - x _{A}} = \frac{y - y _{A}}{y _{B} - y _{A}}$ ; dacă $x_{A} = x_{B}$ , dreapta este $x = x_{A}$ ; dacă $y_{A} = y_{B}$ , este $y = y_{A}$ .
Generală: $a x + b y + c = 0$ , cu panta $- \frac{a}{b}$ pentru $b \neq = 0$ .

Punctul aparține dreptei dacă coordonatele lui verifică ecuația. Intersecția a două drepte se află rezolvând sistemul format din ecuațiile lor.

Ecuația dreptei prin M(−4, 4), perpendiculară pe OM?

Paralelism, perpendicularitate, distanțe, arii

4 min

RelațieCondiție

d_{1} ∥ d_{2}

m_{1} = m_{2}

și

n_{1} \neq = n_{2}

d_{1} ⊥ d_{2}

m_{1} \cdot m_{2} = - 1

A, B, C

coliniare

m_{A B} = m_{A C}

(sau

A B ∥ A C

)

C

pe mediatoarea lui

A B

C A = C B

Relație	Condiție
$d_{1} ∥ d_{2}$	$m_{1} = m_{2}$ și $n_{1} \neq = n_{2}$
$d_{1} ⊥ d_{2}$	$m_{1} \cdot m_{2} = - 1$
$A, B, C$ coliniare	$m_{A B} = m_{A C}$ (sau $A B ∥ A C$ )
$C$ pe mediatoarea lui $A B$	$C A = C B$

Distanța de la $M (x_{0}, y_{0})$ la dreapta $a x + b y + c = 0$ : $\frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$ .

Aria unui triunghi: $\frac{1}{2} \cdot$ baza $\cdot$ înălțimea; înălțimea este distanța de la vârf la dreapta bazei. Pentru $A (0, 0)$ , $B (4, 0)$ , $C (1, 3)$ : baza $A B = 4$ pe $O x$ , înălțimea $3$ , aria $6$ .

Itemi oficiali rezolvați

8 min 2 întrebări la final

Oficial: BAC 2020, sesiunea iunie, varianta 6, I.5

Enunț: În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctul $M (- 4, 4)$ . Determinați ecuația dreptei $d$ care trece prin punctul $M$ și este perpendiculară pe dreapta $O M$ .

$m_{O M} = - 1$ și, cum $m_{O M} \cdot m_{d} = - 1$ , obținem $m_{d} = 1$

Ecuația dreptei $d$ este $y - y_{M} = m_{d} (x - x_{M})$ , deci $y = x + 8$

Perpendiculara prin M pe OM

Panta lui OM este −1, iar produsul pantelor a două drepte perpendiculare este −1. De aceea d are panta 1.

Oficial: BAC 2020, sesiunea august, varianta 3, I.5

Enunț: În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (0, 1)$ , $B (2, 3)$ și $C (4, a)$ , unde $a$ este un număr real. Determinați numărul real $a$ , știind că punctul $C$ este situat pe mediatoarea segmentului $A B$ .

$C A = C B ⟺ (4 - 0)^{2} + (a - 1)^{2} = (4 - 2)^{2} + (a - 3)^{2}$

$16 + a^{2} - 2 a + 1 = 4 + a^{2} - 6 a + 9 ⟺ a = - 1$

C pe mediatoarea lui AB

CA = CB înseamnă că C e pe mediatoarea lui AB, dreapta prin mijlocul (1, 2), perpendiculară pe AB. Pentru x = 4 ea dă y = −1, adică a = −1, ca în calcul.

Oficial: BAC 2020, sesiunea specială, varianta 1, I.5

Enunț: În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $M (1, 0)$ , $N (7, 0)$ și $A (a, 3)$ , unde $a$ este număr real. Știind că $A M = A N$ , arătați că segmentul $A O$ are lungimea egală cu 5.

$A M = A N$ , deci $A$ este pe mediatoarea lui $M N$ , dreapta $x = 4$ , adică $a = 4$

$A (4, 3)$ , deci $A O = 3^{2} + 4^{2} = 5$

Oficial: BAC 2021, sesiunea august, varianta 4, I.5

Enunț: În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $M (3, 0)$ , $N (8, 3)$ și $P (6, 3)$ . Determinați coordonatele punctului $Q$ , știind că $M N + M P = M Q$ .

$M N QP$ este paralelogram, deci segmentele $M Q$ și $P N$ au același mijloc

Coordonatele punctului $Q$ sunt $x = 11$ și $y = 6$

(Pe componente: $M N = (5, 3)$ , $M P = (3, 3)$ , $M Q = (8, 6)$ , deci $Q (3 + 8, 0 + 6)$ .)

Oficial: BAC 2026, sesiunea iunie-iulie, varianta 3, I.5

Enunț: În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (3, 6)$ , $B (4, 1)$ și $C (5, a)$ , unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$ pentru care dreptele $O A$ și $B C$ sunt paralele.

$m_{O A} = 2$

$m_{B C} = a - 1$ și, cum $m_{O A} = m_{B C}$ , obținem $a = 3$

Oficial: BAC 2021, iunie (rezervă), M_șt-nat, varianta 1, I.5

Enunț: În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (- 4, 0)$ , $B (4, 0)$ și $C (0, 4)$ . Determinați coordonatele centrului cercului circumscris triunghiului $A B C$ .

$O A = 4$ , $O B = 4$ , $O C = 4$

Centrul cercului circumscris triunghiului $A B C$ are coordonatele $x = 0$ , $y = 0$

M(3, 0), N(8, 3), P(6, 3) și MN + MP = MQ. Coordonatele lui Q?

Pentru ce a sunt OA și BC paralele, cu A(3, 6), B(4, 1), C(5, a)?

Ce se cere la BAC

3 mincum apare la examen

Ecuația unei drepte perpendiculare sau paralele printr-un punct: iunie 2020, varianta 6 ( $y = x + 8$ ).
Un parametru dintr-o condiție de paralelism, coliniaritate sau mediatoare: iunie-iulie 2026 ( $a = 3$ ), august 2020 ( $a = - 1$ ), M_șt-nat august 2021 ( $O$ , $A (2, 4)$ , $B (3, a)$ coliniare: $a = 6$ ).
Lungimi și puncte remarcabile: specială 2020 ( $A O = 5$ ), M_șt-nat rezervă 2021 (centrul cercului circumscris $O (0, 0)$ ).
Relații vectoriale cu coordonate: august 2021 ( $Q (11, 6)$ ).
Recente: august 2026, varianta 4, I.5: $A (1, 3)$ , $B (2, 2)$ , $C (4, 6)$ , dreapta $d$ prin $B$ , paralelă cu $A C$ ; barem: $m_{A C} = 1$ , deci $m_{d} = 1$ , $y - 2 = x - 2$ , adică $y = x$ . Simulare 2026, I.5: $A (0, 5)$ , $B (4, 2)$ , dreapta prin $A$ perpendiculară pe $O B$ ; barem: $m_{O B} = \frac{1}{2}$ , $m_{O B} \cdot m_{d} = - 1$ , deci $m_{d} = - 2$ și $y = - 2 x + 5$ .

Greșeli care costă puncte

1 mincapcanele de evitat

Panta inversată sau semnul greșit la $x_{B} - x_{A}$ .
Perpendiculara cu aceeași pantă (sau cu panta $\frac{1}{m}$ în loc de $- \frac{1}{m}$ ).
Ecuația lăsată nefinalizată: baremul cere forma finală ( $y = x + 8$ ).
Dreptele verticale tratate cu formula pantei (împărțire la zero).
Ridicarea la pătrat a distanțelor făcută greșit: $(a - 1)^{2} = a^{2} - 2 a + 1$ .

Termeni-cheie

Coordonatele unui vector: Pentru A(x_A, y_A), B(x_B, y_B): AB = (x_B − x_A)·i + (y_B − y_A)·j.
Distanța dintre două puncte: AB = √((x_B − x_A)² + (y_B − y_A)²).
Mijlocul unui segment: M((x_A + x_B)/2, (y_A + y_B)/2).
Centrul de greutate: G((x_A + x_B + x_C)/3, (y_A + y_B + y_C)/3).
Panta dreptei AB: m_AB = (y_B − y_A)/(x_B − x_A), pentru x_A ≠ x_B; dreapta y = mx + n are panta m.
Dreapta printr-un punct, de pantă m: y − y₀ = m(x − x₀).
Dreapta prin două puncte: (x − x_A)/(x_B − x_A) = (y − y_A)/(y_B − y_A), pentru x_A ≠ x_B și y_A ≠ y_B; altfel x = x_A sau y = y_A.
Drepte paralele: Pentru y = m₁x + n₁ și y = m₂x + n₂: paralele ⇔ m₁ = m₂ și n₁ ≠ n₂.
Drepte perpendiculare: m₁·m₂ = −1 (pentru drepte neverticale și neorizontale); o orizontală este perpendiculară pe o verticală.
Mediatoarea segmentului AB: Mulțimea punctelor egal depărtate de A și B: dreapta perpendiculară pe AB prin mijlocul lui AB.
Distanța de la un punct la o dreaptă: Pentru d: ax + by + c = 0 și M(x₀, y₀): d(M, d) = |ax₀ + by₀ + c|/√(a² + b²).
Puncte coliniare: A, B, C coliniare ⇔ m_AB = m_AC (sau AB și AC sunt vectori coliniari).

Notițele mele

Salvat local