Combinări, submulțimi și binomul lui Newton

Combinările ca număr de submulțimi, formula combinărilor complementare, numărul tuturor submulțimilor, ecuații cu Cₙᵏ, binomul lui Newton și termenul general, cu cinci itemi oficiali de tip I.4.

24 min
La BAC: I.4
Verificat pe bareme

Ilustrație generată pentru ZECE (artistică, nu o planșă științifică: pentru detalii exacte vezi schemele din lecție).

ții minte doar fișa asta și ești acoperit

Fișa de aur

01
Cₙᵏ numără submulțimile cu k elemente (ordinea nu contează). Cₙ² = n(n − 1)/2 apare la aproape orice ecuație din I.4.
02
O mulțime cu n elemente are 2ⁿ submulțimi. 16 submulțimi ⇒ n = 4.
03
„Submulțimi cu 3 elemente care îl conțin pe 1”: fixezi 1 și alegi restul din celelalte elemente: C₄².
Truc: Elementul impus e deja „în rucsac”; alegi doar locurile rămase.
04
Cₙᵏ = Cₙⁿ⁻ᵏ: C₂₀¹⁸ = C₂₀² = 190. Alegi mereu varianta cu k mic.
05
Binomul: Tₖ₊₁ = Cₙᵏaⁿ⁻ᵏbᵏ; termenul liber sau coeficientul lui xʳ se află din exponentul lui x egalat cu cel cerut.

1 din 8

Pe scurt

2 minesențialul, de recitit oricând

Culorile din lecție:termencifră, datăidee-cheie

$C_{n}^{k} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!} = \frac{A _{n}^{k}}{k !}$ : numărul submulțimilor cu $k$ elemente.
$C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$ ; $C_{n}^{0} = C_{n}^{n} = 1$ ; $C_{n}^{1} = n$ ; $C_{n}^{2} = \frac{n ( n - 1 )}{2}$ .
Toate submulțimile unei mulțimi cu $n$ elemente: $2^{n}$ .
Binomul lui Newton: $(a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}$ , cu termenul general $T_{k + 1} = C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}$ .
La BAC, I.4 cere de obicei un număr de submulțimi sau numărul de elemente al unei mulțimi din numărul ei de submulțimi.

Combinări

3 min

O submulțime nu are ordine: ${1, 2} = {2, 1}$ . Fiecare submulțime cu $k$ elemente generează $k!$ submulțimi ordonate, deci

A_{n}^{k} = k! \cdot C_{n}^{k} \Rightarrow C_{n}^{k} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!} .

Proprietăți:

combinările complementare: $C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$ (a alege $k$ elemente înseamnă a lăsa deoparte $n - k$ );
numărul tuturor submulțimilor: $C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + \dots + C_{n}^{n} = 2^{n}$ ;
recurența (triunghiul lui Pascal): $C_{n}^{k} = C_{n - 1}^{k} + C_{n - 1}^{k - 1}$ .

Submulțimi cu o condiție. Submulțimile cu $k$ elemente ale unei mulțimi cu $n$ elemente care conțin un element dat: $C_{n - 1}^{k - 1}$ (îl fixezi și alegi restul); care nu conțin elementul dat: $C_{n - 1}^{k}$ . Suma lor este $C_{n}^{k}$ : aceasta este chiar formula de recurență.

Triunghiul lui Pascal

Recurența Cₙᵏ = Cₙ₋₁ᵏ + Cₙ₋₁ᵏ⁻¹: fiecare număr e suma celui de deasupra și a celui din stânga acestuia, aici 3 + 3 = 6. Fiecare rând e simetric, iar suma lui este 2ⁿ.

Ecuații cu combinări

1 min

Condiția
$n$ și $k$ naturali, $0 \leq k \leq n$ (pentru $C_{n}^{2}$ : $n \geq 2$ ).
Formula restrânsă
Scrii $C_{n}^{2} = \frac{n ( n - 1 )}{2}$ , $C_{n}^{3} = \frac{n ( n - 1 ) ( n - 2 )}{6}$ ; nu lucra cu factoriale mari.
Ecuația în n
Rezolvi ecuația algebrică și păstrezi doar soluțiile naturale care verifică condiția.

Binomul lui Newton

3 min o întrebare la final

(a + b)^{n} = C_{n}^{0} a^{n} + C_{n}^{1} a^{n - 1} b + C_{n}^{2} a^{n - 2} b^{2} + \dots + C_{n}^{n} b^{n}, T_{k + 1} = C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k} .

Dezvoltarea are $n + 1$ termeni; coeficienții binomiali sunt simetrici ( $C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$ ).
Suma coeficienților binomiali este $2^{n}$ ; suma tuturor coeficienților dezvoltării se obține punând variabila egală cu 1.
Pentru $(a - b)^{n}$ , semnele alternează: $T_{k + 1} = (- 1)^{k} C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}$ .

Care este coeficientul lui x³ din (x + 2)⁵?

Itemi oficiali rezolvați

7 min 2 întrebări la final

Oficial: BAC 2020, sesiunea iunie, varianta 6, I.4

Enunț: Se consideră mulțimea $A = {1, 2, 3, 4, 5}$ . Determinați numărul submulțimilor cu trei elemente ale lui $A$ , care îl conțin pe 1.

Numărul submulțimilor cu trei elemente ale lui $A$ , care îl conțin pe 1, este egal cu numărul submulțimilor cu două elemente ale mulțimii ${2, 3, 4, 5}$ , deci este egal cu $C_{4}^{2} =$

$= \frac{4 !}{2 ! ( 4 - 2 )!} = 6$

Oficial: BAC 2020, sesiunea specială, varianta 1, I.4

Enunț: Determinați numărul natural nenul $n$ , știind că mulțimea $A = {1, 2, 3, \dots, n}$ are exact 10 submulțimi cu două elemente.

Numărul submulțimilor cu două elemente ale mulțimii $A$ este $C_{n}^{2}$

$\frac{n !}{2 ! ( n - 2 )!} = 10 ⟺ n^{2} - n - 20 = 0$ și, cum $n$ este număr natural, obținem $n = 5$

Oficial: BAC 2021, model, I.4

Enunț: Determinați numărul de elemente ale unei mulțimi $A$ , știind că mulțimea $A$ are exact 15 submulțimi cu două elemente.

Mulțimea $A$ are $C_{n}^{2}$ submulțimi cu 2 elemente, unde $n \in N$ , $n \geq 2$ , este numărul de elemente ale lui $A$

$C_{n}^{2} = 15$ , deci $\frac{n ( n - 1 )}{2} = 15$ , de unde obținem că mulțimea $A$ are 6 elemente

Oficial: BAC 2021, sesiunea august, varianta 4, I.4

Enunț: Determinați numărul de elemente ale unei mulțimi, știind că aceasta are exact 16 submulțimi.

O mulțime cu $n$ elemente are $2^{n}$ submulțimi

$2^{n} = 16$ , deci $n = 4$

Oficial: BAC 2026, sesiunea iunie-iulie, varianta 3, I.4

Enunț: Se consideră mulțimea $A = {1, 2, 3, 5, 7}$ . Determinați câte dintre submulțimile mulțimii $A$ au exact trei elemente și conțin numărul 5.

Numărul submulțimilor cu exact trei elemente ale mulțimii $A$ , care conțin elementul 5, este egal cu numărul submulțimilor cu exact două elemente ale mulțimii $A ∖ {5}$

Mulțimea $A ∖ {5}$ are $C_{4}^{2} = 6$ submulțimi cu exact două elemente

Câte submulțimi cu trei elemente ale lui {1, 2, 3, 4, 5} îl conțin pe 1?

O mulțime are exact 15 submulțimi cu două elemente. Câte elemente are?

Binomul lui Newton: exemple

3 min

Coeficient, termen liber, dezvoltare

Coeficientul lui $x^{3}$ din $(x + 2)^{5}$ : $T_{k + 1} = C_{5}^{k} x^{5 - k} 2^{k}$ ; $5 - k = 3 \Rightarrow k = 2$ , coeficientul este $C_{5}^{2} \cdot 2^{2} = 10 \cdot 4 = 40$ .

Termenul liber din $(x + \frac{1}{x})^{6}$ : $T_{k + 1} = C_{6}^{k} x^{6 - k} x^{- k} = C_{6}^{k} x^{6 - 2 k}$ ; $6 - 2 k = 0 \Rightarrow k = 3$ , termenul liber este $C_{6}^{3} = 20$ .

$(2 + 1)^{4} = C_{4}^{0} \cdot 4 + C_{4}^{1} \cdot 22 + C_{4}^{2} \cdot 2 + C_{4}^{3} 2 + C_{4}^{4} = 4 + 82 + 12 + 42 + 1 = 17 + 122$ .

Suma coeficienților dezvoltării $(2 x - 1)^{7}$ : pentru $x = 1$ , $(2 - 1)^{7} = 1$ .

Ce se cere la BAC

4 mincum apare la examen

Submulțimi cu un element impus: iunie 2020, varianta 6, I.4 (6); iunie-iulie 2026, varianta 3, I.4 (6).
Numărul de elemente din numărul de submulțimi: specială 2020 ( $C_{n}^{2} = 10 \Rightarrow n = 5$ ), model 2021 ( $C_{n}^{2} = 15 \Rightarrow n = 6$ ), august 2021 ( $2^{n} = 16 \Rightarrow n = 4$ ).
Submulțimi cu o proprietate (2024): iunie-iulie 2024, varianta 10, I.4: submulțimile cu două elemente, ambele numere pare, ale mulțimii $A = {1, 2, 4, 6, 8, 9}$ ; barem: în $A$ sunt 4 numere pare, deci sunt $C_{4}^{2} = \frac{4 !}{2 ! \cdot 2 !} = 6$ submulțimi.
Combinări în probabilități: cazurile posibile sau favorabile sunt submulțimi.
Binomul lui Newton este în programă (termen general, coeficienți, termen liber), dar nu apare în itemii I consultați (2020–2022 și 11 lucrări 2024–2026).

Greșeli care costă puncte

1 mincapcanele de evitat

$C_{n}^{k}$ cu $A_{n}^{k}$ confundate: la submulțimi ordinea nu contează.
Soluția negativă sau nenaturală a ecuației în $n$ păstrată.
$2^{n} - 1$ în loc de $2^{n}$ : mulțimea vidă este și ea submulțime.
Rangul termenului: $T_{k + 1}$ , nu $T_{k}$ , conține $C_{n}^{k}$ .
Semnele în dezvoltarea lui $(a - b)^{n}$ .

Termeni-cheie

Combinări: Cₙᵏ = n!/(k!(n − k)!), 0 ≤ k ≤ n: numărul submulțimilor cu k elemente ale unei mulțimi cu n elemente.
Legătura cu aranjamentele: Aₙᵏ = k!·Cₙᵏ: fiecare submulțime cu k elemente se poate ordona în k! moduri.
Combinări complementare: Cₙᵏ = Cₙⁿ⁻ᵏ; alegerea a k elemente echivalează cu alegerea celor n − k rămase.
Valori uzuale: Cₙ⁰ = Cₙⁿ = 1, Cₙ¹ = n, Cₙ² = n(n − 1)/2.
Numărul tuturor submulțimilor: O mulțime cu n elemente are 2ⁿ submulțimi (inclusiv ∅ și mulțimea însăși): Cₙ⁰ + Cₙ¹ + … + Cₙⁿ = 2ⁿ.
Formula de recurență: Cₙᵏ = Cₙ₋₁ᵏ + Cₙ₋₁ᵏ⁻¹, pentru 1 ≤ k ≤ n − 1 (triunghiul lui Pascal).
Binomul lui Newton: (a + b)ⁿ = Cₙ⁰aⁿ + Cₙ¹aⁿ⁻¹b + … + Cₙⁿbⁿ; are n + 1 termeni.
Termenul general: Tₖ₊₁ = Cₙᵏ·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ, k = 0, 1, …, n; coeficientul binomial al lui este Cₙᵏ.
Suma coeficienților binomiali: Cₙ⁰ + Cₙ¹ + … + Cₙⁿ = 2ⁿ (se obține pentru a = b = 1).

Notițele mele

Salvat local