Permutări, aranjamente, combinări, produs cartezian, submulțimi (doar matematică-informatică)

Pe scurt

1 minesențialul, de recitit oricând

Culorile din lecție:termencifră, datăidee-cheie

• Doar la matematică-informatică.
• Enunțul spune o poveste, cu parfumuri, seturi de jocuri sau coduri. Tu recunoști în spatele ei una dintre cele cinci structuri din programă.
• Odată ce știi structura, știi cum arată soluțiile în ordine și poți număra ca să ajungi repede la cea cerută.

Urmează · 1 min

Cum recunoști tipul

4 min o întrebare la final

Lucrările îți spun asta într-o propoziție, de multe ori. „Două soluții diferă prin cel puțin un...” înseamnă că ordinea nu contează. Dacă se adaugă ceva de felul „sau dacă ordinea jocurilor este diferită” (model 2026), ordinea contează.

Urmează · 4 min

Aceeași schemă, cu altă linie

4 min o întrebare la final

Baza este schema din lecția trecută, cu tabloul global x și x[0]=0. Aici se schimbă doar câteva linii.

Aranjamente de n luate câte p: ca la permutări, dar te oprești la p, iar afis scrie doar x[1], ..., x[p].

void bt(int k)
{ for(int v=1;v<=n;v++)
  { x[k]=v;
    if(valid(k))
      if(k==p) afis();
      else bt(k+1);
  }
}

Combinări de n luate câte p: valoarea începe de la cea anterioară plus 1. Nu mai trebuie să verifici repetările, pentru că valorile cresc.

void bt(int k)
{ for(int v=x[k-1]+1;v<=n;v++)
  { x[k]=v;
    if(k==p) afis();
    else bt(k+1);
  }
}

Produs cartezian: poziția k are elementele de la 1 la m[k]. Se pot repeta valorile, deci nu există verificare.

void bt(int k)
{ for(int v=1;v<=m[k];v++)
  { x[k]=v;
    if(k==p) afis();
    else bt(k+1);
  }
}

Submulțimi: soluția e bună la fiecare pas. Afișezi, apoi încerci să continui.

void bt(int k)
{ for(int v=x[k-1]+1;v<=n;v++)
  { x[k]=v;
    afis(k);
    bt(k+1);
  }
}

Aici afis(k) afișează x[1], ..., x[k]. Dacă enunțul pune condiții, ca o sumă sau elemente incompatibile, le adaugi ca verificare: nu continui când o condiție este deja încălcată.

Urmează · 4 min

Permutări. Oficial: iulie 2024, varianta 3, I.3

1 min

Permutări ale mulțimii {1, 2, 3, 4, 5, 6}, cu valori pare pe primele trei poziții și impare pe ultimele trei. Primele șase sunt de la (2,4,6,1,3,5) la (2,4,6,5,3,1). Se cere a șaptea.

Numără. Ultimele trei poziții au 3! = 6 așezări. După cele 6 cu început (2,4,6), începutul devine (2,6,4), iar finalul reia prima așezare: (2,6,4,1,3,5), varianta c.

Dacă ar fi cerut ultima soluție, ai fi răsturnat ambele jumătăți: (6,4,2,5,3,1).

Urmează · 1 min

Aranjamente. Oficial: iunie 2025 și model 2023

2 min

Iunie 2025, varianta 1, I.4. Coduri de 6 cifre distincte, primele trei impare, ultimele trei pare. Primele sunt 135024, 135026, 135028, 135042. Se cere penultimul cod.

• Ultimul cod ia cele mai mari cifre, în ordine descrescătoare: 975864.
• Penultimul schimbă doar cât mai la dreapta: 975862, varianta c.

Model 2023, I.3. Torturi cu trei straturi din {castane, mousse, frișcă, șerbet, ganache}, cu frișcă sau ganache doar pe ultimul strat. Primele patru sunt date. Se cere a șasea soluție.

Primele două poziții iau doar castane, mousse, șerbet. Fiecare pereche are 2 finaluri, frișcă sau ganache.

A șasea este (mousse, castane, ganache), varianta a.

Urmează · 2 min

Combinări. Oficial: august 2023 și rezervă 2025

3 min

August 2023, varianta 7, I.4. Parfumuri din 3 esențe distincte din {bergamotă, cireș, iris, lămâie, salcâm}. Se cere penultima soluție.

Sunt 10 combinări. Ultima este (iris, lămâie, salcâm). Înainte vine ultima care începe cu cireș: (cireș, lămâie, salcâm), varianta b.

Rezervă iunie 2025, varianta 7, I.3. Comenzi cu trei categorii din {balerini, botine, cizme, ghete, sandale, teniși}, fără ghete cu cizme și fără balerini cu sandale. Se cere soluția imediat înainte de (cizme, sandale, teniși).

Sunt soluțiile cu cizme în față, iar aceasta este prima dintre ele: cizme nu poate sta cu ghete, deci urmează direct sandale. Înaintea ei este ultima soluție care începe cu botine: (botine, sandale, teniși), varianta d.

Urmează · 3 min

Produs cartezian. Oficial: sesiunea specială 2026 și 2024

3 min

Sesiunea specială 2026, varianta 4, I.3. Pachete cu trei destinații: una din {Dubova, Eșelnița, Șvinița}, una din {Bușteni, Păltiniș, Predeal}, una din {Venus, Neptun, Olimp}. Se cere pachetul imediat înainte de (Șvinița, Bușteni, Venus).

Acesta e primul pachet care începe cu Șvinița. Înainte e ultimul care începe cu Eșelnița, cu ultimele valori din fiecare mulțime: (Eșelnița, Predeal, Olimp), varianta b.

Sesiunea specială 2024, varianta 4, I.3. Numere de mașină, ca B-24-BAC: județ din 6, două cifre crescătoare din {2, 4, 6, 8}, trei litere cu A în mijloc. Partea de mijloc are 6 variante, cea din dreapta 2. Se cer vecinii lui SV-68-CAB.

• Înainte se schimbă doar literele: SV-68-BAC.
• După, nu mai ai cum să crești SV-68-CAB, deci trece la județul următor: TL-24-BAC.

Barem: varianta d. Enunțul combină produs cartezian cu combinări și permutări cu condiție, dar ordinea rămâne cea de la contor.

Urmează · 3 min

Submulțimi. Oficial: cinci itemi

7 min o întrebare la final

August 2026, varianta 1, I.4. Din {Arghezi, Blaga, Coșbuc, Eminescu}, primele patru soluții sunt {Arghezi}, {Arghezi, Blaga}, {Arghezi, Blaga, Coșbuc}, {Arghezi, Blaga, Coșbuc, Eminescu}. A cincea se obține scoțând ultimele două elemente și punând următorul după Coșbuc. Rezultă {Arghezi, Blaga, Eminescu}, varianta a.

Iunie 2023, varianta 5, II.2. Amestecuri din {lac, mare, ocean, ploaie, râu}, cu o sursă sărată (mare sau ocean) și una sau două dulci (lac, ploaie, râu). Se cer soluțiile imediat înainte și imediat după (ocean, ploaie).

• După: (ocean, ploaie) mai poate primi o sursă dulce, deci (ocean, ploaie, râu).
• Înainte: soluțiile merg în ordinea mulțimii, deci după ocean pot veni doar ploaie și râu. Asta face din (ocean, ploaie) prima soluție care începe cu ocean. Ultima care începe cu mare este (mare, râu).

Barem: câte 3 p pentru fiecare soluție.

Model 2027, I.4. Echipamente cu prețuri, din {rucsac, bocanci, lanternă, bidon, pelerină, busolă, hartă}, cu total 200 de lei. Primele trei soluții sunt date. Se cere a șasea.

Barem: varianta D. Odată ce începi cu bocanci, ai deja 200, deci nu mai adaugi nimic.

Simulare 2025, II.2. Aceeași idee, cu opt accesorii și total 200. Se cer a patra și a cincea soluție. Barem, câte 3 p: (cască, clipsuri pentru nas, dopuri pentru urechi, placă) și (costum de înot, înotătoare).

Model 2025, II.2. Numere cu cifre distincte și suma cifrelor 6. Primele sunt 1023, 1032, 105, 1203. Se cer a cincea și a șasea. Ordinea e pe cifre, de la stânga la dreapta, iar soluția se scrie când suma a ajuns la 6, apoi metoda încearcă să continue cu cifra 0.

• După 1203, urmează prefixul 12, cu următoarea cifră 3: 123, cu suma 6.
• Poți continua cu 0, care nu schimbă suma: 1230.

Barem: câte 3 p pentru fiecare soluție.

Urmează · 7 min

Ce se cere la BAC

3 mincum apare la examen

Urmează · 3 min

Greșeli care costă puncte

1 mincapcanele de evitat

• Confunzi combinările cu aranjamentele: citește propoziția cu „două soluții diferă”.
• Lucrezi pe cuvinte în loc de numere, iar la 7-8 elemente te încurci. Numerotează-le.
• Numeri greșit soluțiile până la a k-a: scrie-le pe grupuri, ca în tabelul de la model 2023.
• Oprești soluția prea devreme sau prea târziu, când condiția e pe sumă.
• Uiți de soluțiile de lungime mai mică, la submulțimi.
• Compari cu ordinea alfabetică, deși mulțimea are altă ordine.

Urmează · 1 min